Operator (matematik)

sep 22, 2021

admin

GeometriRediger

Hovedartikler: generel lineær gruppe og isometri

I geometrien studeres undertiden yderligere strukturer på vektorrum. Operatorer, der kortlægger sådanne vektorrum til sig selv bijektivt, er meget nyttige i disse studier, de danner naturligt grupper ved komposition.

For eksempel er bijektive operatører, der bevarer strukturen af et vektorrum, netop de inverterbare lineære operatører. De danner den generelle lineære gruppe under komposition. De danner ikke et vektorrum under addition af operatorer, f.eks. er både id og -id invertible (bijektive), men deres sum, 0, er det ikke.

Operatorer, der bevarer den euklidiske metrik på et sådant rum, danner isometri-gruppen, og de, der fastlægger oprindelsen, danner en undergruppe, der kaldes den ortogonale gruppe. Operatorer i den ortogonale gruppe, der også bevarer orienteringen af vektortupler, danner den specielle ortogonale gruppe, eller gruppen af rotationer.

SandsynlighedsteoriRediger

Hovedartikel: Sandsynlighedsteori

Operatorer er også involveret i sandsynlighedsteori, såsom forventning, varians og kovarians. Faktisk er enhver kovarians grundlæggende et prikprodukt; enhver varians er et prikprodukt af en vektor med sig selv og er således en kvadratisk norm; enhver standardafvigelse er en norm (kvadratrod af den kvadratiske norm); den tilsvarende cosinus til dette prikprodukt er Pearson-korrelationskoefficienten; forventet værdi er grundlæggende en integraloperator (bruges til at måle vægtede former i rummet).

CalculusEdit

Hovedartikler: differentialoperator og integraloperator

Med hensyn til funktionel analyse er calculus studiet af to lineære operatører: differentialoperatoren d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} t}}}}}

$\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}}t}$

, og Volterra-operatoren ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}}

$\int_0^t$

Fourierrækker og FouriertransformationRediger

Hovedartikler: Fourier-serie og Fourier-transformation

Fourier-transformationen er nyttig i anvendt matematik, især inden for fysik og signalbehandling. Det er en anden integraloperator; den er især nyttig, fordi den konverterer en funktion på ét (tidsmæssigt) domæne til en funktion på et andet (frekvens) domæne på en måde, der effektivt er inverterbar. Der går ingen information tabt, da der er tale om en omvendt transformationsoperator. I det enkle tilfælde af periodiske funktioner er dette resultat baseret på den sætning, at enhver kontinuert periodisk funktion kan repræsenteres som summen af en række sinusbølger og cosinusbølger:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$

Tuplen (a0, a1, b1, a2, b2, …) er faktisk et element i et uendeligt-dimensionelt vektorrum ℓ2, og Fourierrækken er således en lineær operatør.

Når der er tale om en generel funktion R → C, antager transformationen en integralform:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Laplace-transformationRediger

Hovedartikel: Laplace-transformation

Laplace-transformationen er en anden integraloperator og er med til at forenkle processen med at løse differentialligninger.

Givet f = f(s), er den defineret ved:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}}\{f\}(s)=\int _{0}^{{\infty }e^{{{{-st}}}f(t)\,dt.$

Fundamentale operatorer på skalar- og vektorfelterRediger

Hovedartikler: vektorregning, vektorfelt, skalarfelt, gradient, divergens og krølle

Tre operatorer er centrale for vektorregning:

Grad (gradient), (med operatorsymbol ∇ {\displaystyle \nabla }
$\nabla$

) tildeler en vektor i hvert punkt i et skalarfelt, der peger i retning af den største ændringshastighed i dette felt, og hvis norm måler den absolutte værdi af denne største ændringshastighed.

Div (divergens), (med operatorsymbol ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }

$\nabla \cdot$

) er en vektoroperator, der måler et vektorfeltets divergens fra eller konvergens mod et givet punkt.

Curl, (med operatorsymbol ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) er en vektoroperator, der måler et vektorfeltets krølletrend om et givet punkt.

Som en udvidelse af vektorberegningsoperatorer til fysik, teknik og tensorrum, er Grad-, Div- og Curl-operatorer også ofte forbundet med tensorberegning såvel som vektorberegning.