MCDM eller MCDA er velkendte akronymer for multiple-criteria decision-making og multiple-criteria decision analysis; Stanley Zionts var med til at gøre akronymet populært med sin artikel fra 1979 “MCDM – If not a Roman Numeral, then What?”, som var beregnet til et iværksætterpublikum.

MCDM beskæftiger sig med strukturering og løsning af beslutnings- og planlægningsproblemer, der involverer flere kriterier. Formålet er at støtte beslutningstagere, der står over for sådanne problemer. Typisk findes der ikke en entydig optimal løsning for sådanne problemer, og det er nødvendigt at bruge beslutningstagernes præferencer til at skelne mellem løsninger.

“Løsning” kan fortolkes på forskellige måder. Det kan svare til at vælge det “bedste” alternativ blandt et sæt af tilgængelige alternativer (hvor “bedste” kan fortolkes som “det mest foretrukne alternativ” for en beslutningstager). En anden fortolkning af “løse” kunne være at vælge et lille sæt af gode alternativer eller at gruppere alternativerne i forskellige præferencesæt. En ekstrem fortolkning kunne være at finde alle “effektive” eller “ikke-dominerede” alternativer (som vi vil definere om kort tid).

Problemets vanskelighed stammer fra tilstedeværelsen af mere end ét kriterium. Der findes ikke længere en entydig optimal løsning på et MCDM-problem, som kan opnås uden inddragelse af præferenceoplysninger. Begrebet optimal løsning erstattes ofte af et sæt af ikke-nondominerede løsninger. En løsning kaldes ikke-domineret, hvis det ikke er muligt at forbedre den på noget kriterium uden at ofre den på et andet kriterium. Derfor giver det mening for beslutningstageren at vælge en løsning fra det ikke-nondominerede sæt. Ellers kunne han/hun gøre det bedre med hensyn til nogle eller alle kriterierne, men ikke dårligere med hensyn til nogen af dem. Generelt er mængden af ikke-dominerede løsninger imidlertid for stor til at blive præsenteret for beslutningstageren, som skal træffe det endelige valg. Derfor har vi brug for værktøjer, der hjælper beslutningstageren med at fokusere på de foretrukne løsninger (eller alternativer). Normalt er man nødt til at “bytte” visse kriterier mod andre.

MCDM har været et aktivt forskningsområde siden 1970’erne. Der findes flere MCDM-relaterede organisationer, herunder International Society on Multi-criteria Decision Making, Euro Working Group on MCDA og INFORMS Section on MCDM. For en historik se: Köksalan, Wallenius og Zionts (2011).MCDM trækker på viden fra mange områder, herunder:

• Matematik
• Beslutningsanalyse
• Økonomi
• Computerteknologi
• Software engineering
• Informationssystemer

En typologiRediger

Der findes forskellige klassifikationer af MCDM-problemer og -metoder. En vigtig sondring mellem MCDM-problemer er baseret på, om løsningerne er eksplicit eller implicit defineret.

• Evalueringsproblemer med flere kriterier: Disse problemer består af et begrænset antal alternativer, som er eksplicit kendt i begyndelsen af løsningsprocessen. Hvert alternativ er repræsenteret ved dets præstation i forhold til flere kriterier. Problemet kan defineres som at finde det bedste alternativ for en beslutningstager (DM) eller at finde et sæt af gode alternativer. Man kan også være interesseret i at “sortere” eller “klassificere” alternativer. Ved sortering forstås placering af alternativer i et sæt præferenceordnede klasser (f.eks. tildeling af kreditvurderinger til lande), og ved klassificering forstås tildeling af alternativer til ikke-ordnede sæt (f.eks. diagnosticering af patienter på grundlag af deres symptomer). Nogle af MCDM-metoderne i denne kategori er blevet undersøgt på en sammenlignende måde i Triantaphyllous bog om dette emne, 2000.
• Designproblemer med flere kriterier (matematiske programmeringsproblemer med flere mål): I disse problemer er alternativerne ikke udtrykkeligt kendt. Et alternativ (en løsning) kan findes ved at løse en matematisk model. Antallet af alternativer er enten uendeligt (tælleligt eller ej) eller endeligt, men typisk eksponentielt stort (i antallet af variabler, der strækker sig over endeløse domæner)

Hvad enten der er tale om et evalueringsproblem eller et designproblem, er der behov for præferenceoplysninger fra DM’erne for at kunne skelne mellem løsninger. Løsningsmetoderne for MCDM-problemer klassificeres almindeligvis på grundlag af tidspunktet for de præferenceoplysninger, der indhentes fra DM.

Der er metoder, der kræver DM’s præferenceoplysninger i starten af processen, hvilket omdanner problemet til i det væsentlige et enkeltkriterieproblem. Disse metoder siges at fungere ved “forudgående artikulering af præferencer”. Metoder, der er baseret på estimering af en værdifunktion eller på begrebet “outranking relations”, analytical hierarchy process og nogle beslutningsregelbaserede metoder forsøger at løse evalueringsproblemer med flere kriterier ved hjælp af forudgående artikulation af præferencer. På samme måde er der udviklet metoder til at løse designproblemer med flere kriterier ved hjælp af forudgående formulering af præferencer ved at konstruere en værdifunktion. Den måske mest velkendte af disse metoder er målprogrammering. Når værdifunktionen er konstrueret, løses det resulterende matematiske program med et enkelt mål for at opnå en foretrukken løsning.

Nogle metoder kræver oplysninger om præferencer fra DM i hele løsningsprocessen. Disse metoder betegnes som interaktive metoder eller metoder, der kræver “progressiv artikulering af præferencer”. Disse metoder er blevet veludviklet til både multikriterieevaluering (se f.eks. Geoffrion, Dyer og Feinberg, 1972, og Köksalan og Sagala, 1995 ) og designproblemer (se Steuer, 1986).

Designproblemer med flere kriterier kræver typisk løsning af en række matematiske programmeringsmodeller for at afsløre implicit definerede løsninger. For disse problemer kan en repræsentation eller tilnærmelse af “effektive løsninger” også være af interesse. Denne kategori kaldes “posterior articulation of preferences”, hvilket indebærer, at DM’s involvering begynder efter den eksplicitte afsløring af “interessante” løsninger (se f.eks. Karasakal og Köksalan, 2009).

Når de matematiske programmeringsmodeller indeholder heltalsvariabler, bliver designproblemerne sværere at løse. Multiobjektiv kombinatorisk optimering (MOCO) udgør en særlig kategori af sådanne problemer, der giver betydelige beregningsmæssige vanskeligheder (se Ehrgott og Gandibleux, 2002, for en gennemgang).

Repræsentationer og definitionerRediger

Det MCDM-problem kan repræsenteres i kriterieområdet eller beslutningsområdet. Alternativt, hvis forskellige kriterier kombineres ved hjælp af en vægtet lineær funktion, er det også muligt at repræsentere problemet i vægtrummet. Nedenfor er der demonstrationer af kriterie- og vægtrummene samt nogle formelle definitioner.

Repræsentation af kriterierummetRediger

Lad os antage, at vi evaluerer løsninger i en specifik problemsituation ved hjælp af flere kriterier. Lad os endvidere antage, at mere er bedre i hvert kriterium. Så er vi blandt alle mulige løsninger ideelt set interesseret i de løsninger, der klarer sig godt i alle de betragtede kriterier. Det er imidlertid usandsynligt, at der findes en enkelt løsning, som klarer sig godt i forhold til alle kriterier. Typisk er der nogle løsninger, der klarer sig godt i nogle kriterier, og andre, der klarer sig godt i andre kriterier. At finde en måde at bytte mellem kriterierne på er en af de vigtigste bestræbelser i MCDM-litteraturen.

Matematisk set kan MCDM-problemet svarende til ovenstående argumenter repræsenteres som

“max” q med forbehold af q ∈ Q

hvor q er vektoren af k k kriteriefunktioner (målfunktioner) og Q er den gennemførlige mængde, Q ⊆ Rk

.

Hvis Q defineres eksplicit (ved et sæt alternativer), kaldes det resulterende problem et multikriterie-evalueringsproblem.

Hvis Q defineres implicit (ved et sæt begrænsninger), kaldes det resulterende problem et multikriterie-designproblem.

Anførselstegnene bruges for at angive, at maksimering af en vektor ikke er en veldefineret matematisk operation. Dette svarer til argumentet om, at vi bliver nødt til at finde en måde at løse afvejningen mellem kriterierne på (typisk baseret på en beslutningstagers præferencer), når der ikke findes en løsning, der klarer sig godt i forhold til alle kriterier.

Repræsentation af beslutningsrummetRediger

Beslutningsrummet svarer til det sæt af mulige beslutninger, der er tilgængelige for os. Kriteriernes værdier vil være konsekvenser af de beslutninger, vi træffer. Vi kan derfor definere et tilsvarende problem i beslutningsrummet. Ved design af et produkt beslutter vi f.eks. designparametre (beslutningsvariabler), som hver især påvirker de præstationsmål (kriterier), hvormed vi evaluerer vores produkt.

Matematisk set kan et designproblem med flere kriterier repræsenteres i beslutningsrummet på følgende måde:

max q = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) med forbehold af q ∈ Q = { f ( x ) : x ∈ X , X ⊆ R n } {\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{subject to}}}\\\q\\in Q&=\{f(x):x\in X,\,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\}\end{aligned}}}}

hvor X er det gennemførlige sæt og x er den beslutningsvariable vektor af størrelse n.

Et veludviklet specialtilfælde opnås, når X er et polyeder defineret ved lineære uligheder og ligninger. Hvis alle målfunktioner er lineære med hensyn til beslutningsvariablerne, fører denne variant til lineær programmering med flere mål (MOLP), en vigtig underklasse af MCDM-problemer.

Der er flere definitioner, der er centrale i MCDM. To nært beslægtede definitioner er definitionerne af nondominans (defineret på grundlag af kriteriumsrumsrepræsentationen) og effektivitet (defineret på grundlag af beslutningsvariabelrepræsentationen).

Definition 1. q* ∈ Q er nondomineret, hvis der ikke findes et andet q ∈ Q, således at q ≥ q* og q ≠ q*.

Grovt sagt er en løsning nondomineret, så længe den ikke er ringere end nogen anden tilgængelig løsning i forhold til alle de betragtede kriterier.

Definition 2. x* ∈ X er effektiv, hvis der ikke findes et andet x ∈ X, således at f(x) ≥ f(x*) og f(x) ≠ f(x*).

Hvis et MCDM-problem repræsenterer en beslutningssituation godt, så skal den mest foretrukne løsning af en DM være en effektiv løsning i beslutningsrummet, og dens billede er et ikke-domineret punkt i kriterieområdet. Følgende definitioner er også vigtige.

Definition 3. q* ∈ Q er svagt ikkedomineret, hvis der ikke findes et andet q ∈ Q, således at q > q*.

Definition 4. x* ∈ X er svagt effektiv, hvis der ikke findes et andet x ∈ X, således at f(x) > f(x*).

Svagt nondominerede punkter omfatter alle nondominerede punkter og nogle særlige dominerede punkter. Betydningen af disse specielle dominerede punkter kommer af, at de ofte optræder i praksis, og at det er nødvendigt at være særlig omhyggelig med at skelne dem fra ikke-dominerede punkter. Hvis vi f.eks. maksimerer et enkelt mål, kan vi ende med et svagt ikke-domineret punkt, som er domineret. De dominerede punkter i det svagt ikke-dominerede sæt er placeret enten på lodrette eller vandrette planer (hyperplaner) i kriterierummet.

Idealpunkt: (i kriterierummet) repræsenterer det bedste (maksimum for maksimeringsproblemer og minimum for minimeringsproblemer) for hver målfunktion og svarer typisk til en uopnåelig løsning.

Nadirpunkt: (i kriterierummet) repræsenterer det bedste (maksimum for maksimeringsproblemer og minimum for minimeringsproblemer) for hver målfunktion og svarer typisk til en uopnåelig løsning: (i kriterierummet) repræsenterer det dårligste (minimum for maksimeringsproblemer og maksimum for minimeringsproblemer) for hver målfunktion blandt punkterne i det ikke-dominerede sæt og er typisk et domineret punkt.

Det ideelle punkt og nadirpunktet er nyttige for DM til at få en “fornemmelse” af rækkevidden af løsninger (selv om det ikke er ligetil at finde nadirpunktet for designproblemer med mere end to kriterier).

Illustrationer af beslutnings- og kriterierummetRediger

Det følgende MOLP-problem med to variabler i beslutningsvariabelrummet vil hjælpe med at demonstrere nogle af nøglebegreberne grafisk.

max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 under forudsætning af x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}\\\\max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2}\\\{tekst{underlagt}}}\\\x_{1}&\leq 4\\\x_{2}&\leq 4\\\x_{1}+x_{2}&\leq 7\\-x_{1}+x_{2}&\leq 3\\\x_{1}-x_{2}&\leq 3\\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

I figur 1 maksimerer de ekstreme punkter “e” og “b” henholdsvis det første og det andet mål. Den røde grænse mellem disse to yderpunkter repræsenterer det effektive sæt. Det fremgår af figuren, at det for enhver gennemførlig løsning uden for det effektive sæt er muligt at forbedre begge mål ved hjælp af nogle punkter i det effektive sæt. Omvendt er det for ethvert punkt i det effektive sæt ikke muligt at forbedre begge mål ved at gå over til en anden gennemførlig løsning. Ved disse løsninger må man ofre fra et af målene for at forbedre det andet mål.

På grund af sin enkelhed kan ovenstående problem repræsenteres i kriterierummet ved at erstatte x’erne med f’erne på følgende måde:

Max f1 Max f2 under forudsætning af f1 + 2f2 ≤ 12 2f1 + f2 ≤ 12 f1 + f2 ≤ 7 f1 – f2 ≤ 9 -f1 + f2 ≤ 9 f1 + 2f2 ≥ 0 2f1 + f2 ≥ 0

Vi præsenterer kriterierummet grafisk i figur 2. Det er lettere at finde de ikke-nondominerede punkter (svarende til effektive løsninger i beslutningsrummet) i kriterieområdet. Det nordøstlige område af det gennemførlige rum udgør mængden af ikke-nondominerede punkter (for maksimeringsproblemer).

Generering af ikke-nondominerede løsningerRediger

Der er flere måder at generere ikke-nondominerede løsninger på. Vi vil diskutere to af disse. Den første fremgangsmåde kan generere en særlig klasse af ikke-dominerede løsninger, mens den anden fremgangsmåde kan generere enhver ikke-domineret løsning.

• Vægtede summer (Gass & Saaty, 1955)

Hvis vi kombinerer de mange kriterier til et enkelt kriterium ved at multiplicere hvert kriterium med en positiv vægt og summere de vægtede kriterier, så er løsningen på det resulterende enkeltkriterieproblem en særlig effektiv løsning. Disse særlige effektive løsninger optræder i hjørnepunkter af mængden af tilgængelige løsninger. Effektive løsninger, der ikke befinder sig i hjørnepunkter, har særlige karakteristika, og denne metode er ikke i stand til at finde sådanne punkter. Matematisk kan vi repræsentere denne situation som

max wT.q = wT.f(x), w> 0 med forbehold af x ∈ X

Ved at variere vægtene kan vægtede summer anvendes til at generere effektive ekstrempunktsløsninger for designproblemer og understøttede (konvekse ikke-dominerede) punkter for evalueringsproblemer.

• Opnåelse af en skalariserende funktion (Wierzbicki, 1980)

Achievement scalarizing functions kombinerer også flere kriterier til et enkelt kriterium ved at vægte dem på en helt særlig måde. De skaber rektangulære konturer, der går væk fra et referencepunkt i retning af de tilgængelige effektive løsninger. Denne specielle struktur gør det muligt for de skalariserende funktioner at nå frem til enhver effektiv løsning. Dette er en kraftfuld egenskab, der gør disse funktioner meget nyttige til MCDM-problemer.

Matematisk set kan vi repræsentere det tilsvarende problem som

Min s(g, q, w, ρ) = Min {maxi + ρ ∑i (gi – qi)}, med forbehold af q ∈ Q

Den skalariserende funktion for præstation kan bruges til at projicere et hvilket som helst punkt (gennemførligt eller ikke gennemførligt) på den effektive grænse. Ethvert punkt (støttet eller ikke støttet) kan nås. Den anden term i målfunktionen er nødvendig for at undgå at generere ineffektive løsninger. Figur 3 viser, hvordan et gennemførligt punkt, g1, og et ikke gennemførligt punkt, g2, projiceres på de ikke-dominerede punkter, henholdsvis q1 og q2, langs retningen w ved hjælp af en skalariserende funktion for opnåelse af resultater. De stiplede og gennemgående konturer svarer til målfunktionskonturerne med og uden den anden term i målfunktionen.

Løsning af MCDM-problemerRediger

Der er udviklet forskellige tankegange til løsning af MCDM-problemer (både af design- og evalueringstypen). For en bibliometrisk undersøgelse, der viser deres udvikling over tid, se Bragge, Korhonen, H. Wallenius og J. Wallenius .

Multiple objective mathematical programming school

(1) Vektormaksimering: Formålet med vektormaksimering er at tilnærme sig det ikke-dominerede sæt; oprindeligt udviklet til problemer med lineær programmering med flere mål (Evans og Steuer, 1973; Yu og Zeleny, 1975).

(2) Interaktiv programmering: Faser af beregning veksler med faser af beslutningstagning (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer og Feinberg, 1972; Zionts og Wallenius, 1976; Korhonen og Wallenius, 1988). Der forudsættes ingen eksplicit viden om DM’s værdifunktion.

Målprogrammeringsskolen

Sigtet er at fastsætte apriori målværdier for mål og at minimere vægtede afvigelser fra disse mål. Der er blevet anvendt såvel vigtighedsvægte som leksikografiske præemptive vægte (Charnes og Cooper, 1961).

Fuzzy-set-teoretikere

Fuzzy-sets blev introduceret af Zadeh (1965) som en udvidelse af det klassiske begreb om sæt. Denne idé anvendes i mange MCDM-algoritmer til at modellere og løse fuzzy-problemer.

Multi-attribut utility-teoretikere

Nytte- eller værdifunktioner med flere attributter udarbejdes og anvendes til at identificere det mest foretrukne alternativ eller til at rangordne alternativerne. Der anvendes udførlige interviewteknikker, som findes til at fremkalde lineære additive nyttefunktioner og multiplikative ikke-lineære nyttefunktioner (Keeney og Raiffa, 1976).

Franske skole

Den franske skole fokuserer på beslutningsstøtte, især ELECTRE-familien af outranking-metoder, som stammer fra Frankrig i midten af 1960’erne. Metoden blev først foreslået af Bernard Roy (Roy, 1968).

Evolutionær multiobjektiv optimeringsskole (EMO)

EMO-algoritmer starter med en startpopulation og opdaterer den ved hjælp af processer, der er designet til at efterligne naturlige survival-of-the-fittest-principper og genetiske variationsoperatører for at forbedre den gennemsnitlige population fra den ene generation til den næste. Målet er at konvergere mod en population af løsninger, som repræsenterer det ikke-dominerede sæt (Schaffer, 1984; Srinivas og Deb, 1994). For nylig er der gjort forsøg på at inkorporere præferenceinformation i løsningsprocessen i EMO-algoritmer (se Deb og Köksalan, 2010).

Grå systemteori-baserede metoder

I 1980’erne foreslog Deng Julong Grey System Theory (GST) og dens første beslutningstagningsmodel med flere attributter, kaldet Dengs grå relationelle analysemodel (GRA). Senere foreslog de grå systemforskere mange GST-baserede metoder som Liu Sifengs absolutte GRA-model, Grey Target Decision Making (GTDM) og Grey Absolute Decision Analysis (GADA).

Analytisk hierarki proces (AHP)

Den AHP dekomponerer først beslutningsproblemet i et hierarki af delproblemer. Derefter vurderer beslutningstageren den relative betydning af dets forskellige elementer ved hjælp af parvise sammenligninger. AHP konverterer disse evalueringer til numeriske værdier (vægte eller prioriteter), som anvendes til at beregne en score for hvert alternativ (Saaty, 1980). Et konsistensindeks måler, i hvilket omfang beslutningstageren har været konsekvent i sine svar. AHP er en af de mere kontroversielle teknikker, der er anført her, idet nogle forskere inden for MCDA-fællesskabet mener, at den er mangelfuld. Den underliggende matematik er også mere kompliceret, selv om den har vundet en vis popularitet som følge af kommercielt tilgængelig software.

Flere artikler gennemgik anvendelsen af MCDM-teknikker inden for forskellige discipliner såsom fuzzy MCDM, klassisk MCDM, bæredygtig og vedvarende energi, VIKOR-teknik, transportsystemer, servicekvalitet, TOPSIS-metoden, energistyringsproblemer, e-learning, turisme og gæstfrihed, SWARA- og WASPAS-metoder.

MCDM-metoderRediger

Der findes følgende MCDM-metoder, hvoraf mange er implementeret af specialiseret software til beslutningstagning:

• Aggregated Indices Randomization Method (AIRM)
• Analytic hierarchy process (AHP)
• Analytic network process (ANP)
• Balance Beam process
• Balance Beam process
• Base-kriteriemetode (BCM)
• Best worst-metode (BWM)
• Brown-Gibson-model
• Karakteristiske objekter METhod (COMET)
• Valg efter fordele (CBA)
• Conjoint Value Hierarchy (CVA)
• Data envelopment analysis
• Decision EXpert (DEX)
• Disaggregation – Aggregering – Aggregation Approaches (UTA*, UTAII, UTADIS)
• Rough set (Rough set approach)
• Dominans-based rough set approach (DRSA)
• ELECTRE (Outranking)
• Evaluation Based on Distance from Average Solution (EDAS)
• Evidential reasoning approach (ER)
• Goal programming (målprogrammering) (GP)
• Grå relationel analyse (GRA)
• Indre produkt af vektorer (IPV)
• Måling af tiltrækningskraft ved hjælp af en kategorisk baseret evalueringsteknik (MACBETH)
• Simple Multi-Attribute Rating Technique (SMART)
• Stratified Multi Criteria Decision Making (SMCDM)
• Multi-Attribute Global Inference of Quality (MAGIQ)
• Multi-attribute utility theory (MAUT)
• Multi-attribute value theory (MAVT)
• Markovian Multi Criteria Decision Making
• New Approach to Appraisal (NATA)
• Nonstructural Fuzzy Decision Support System (NSFDSS)
• Potentielt set Alle parvise RanKings af alle mulige alternativer (PAPRIKA)
• PROMETHEE (Outranking)
• Ranking baseret på optimale punkter (RBOP)
• Stokastisk multikriteriel acceptabilitetsanalyse (SMAA)
• Superiority and inferiority ranking method (SIR method)
• Technique for the Order of Prioritisation by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS)
• Value analysis (VA)
• Værdiskabelse (VE)
• VIKOR-metode
• Vægtet produktmodel (WPM)
• Vægtet summodel (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)