Matematik
Inspiration, ren, anvendt matematik og æstetikRediger
Det er meget muligt, at regnekunsten blev udviklet endnu tidligere end skrivning, primært i forbindelse med regnskab og ejendomsadministration, handel, i landmåling og senere i astronomi.
I dag bidrager alle videnskaberne med problemer, som matematikere studerer, mens der opstår nye problemer inden for matematikken selv. F.eks. foreslog fysikeren Richard Feynman vejintegralet som grundlaget for kvantemekanikken, der kombinerer matematisk ræsonnement og fysik, men der er endnu ikke opnået en fuldt tilfredsstillende definition i matematisk forstand. På samme måde inspirerer strengteorien, en videnskabelig teori under udvikling, der forsøger at forene fysikkens fire fundamentale kræfter, fortsat det meste af den moderne matematik.
En del matematik er kun relevant for det område, hvor den blev inspireret, og anvendes til andre problemer inden for dette område. Ofte er matematik, der er inspireret af et bestemt område, imidlertid nyttig på mange områder og indgår i de accepterede generelle matematiske begreber. Den bemærkelsesværdige kendsgerning, at selv den reneste matematik normalt har praktiske anvendelser, er det, som Eugene Wigner har defineret som “matematikkens urimelige effektivitet i naturvidenskaberne”.
Som på de fleste andre områder har eksplosionen af viden i den videnskabelige tidsalder ført til en specialisering af matematikken. Der er en vigtig forskel mellem ren matematik og anvendt matematik. De fleste forskningsmatematikere fokuserer kun på et af disse områder, og nogle gange er valget truffet, når de begynder på deres uddannelse. Flere områder inden for anvendt matematik er fusioneret med andre områder, der traditionelt ligger uden for matematikken, og er blevet selvstændige discipliner som f.eks. statistik, operationsforskning eller datalogi.
De, der har en forkærlighed for matematik, finder, at der hersker et æstetisk aspekt, som definerer det meste af matematikken. Mange matematikere taler om matematikkens elegance, dens iboende æstetik og dens indre skønhed. Generelt er et af de mest værdsatte aspekter dens enkelhed. Der er skønhed i et enkelt og stærkt bevis, som f.eks. Euklids bevis for eksistensen af uendeligt mange primtal, og i en elegant numerisk analyse, der fremskynder beregningen, samt i den hurtige Fourier-transformation. G. H. Hardy udtrykte i A Mathematician’s Apology den overbevisning, at disse æstetiske overvejelser i sig selv er tilstrækkelige til at retfærdiggøre studiet af ren matematik. Matematikere stræber ofte efter at finde beviser for sætninger, der er særligt elegante, og den excentriske matematiker Paul Erdős omtaler dette som en søgen efter beviser for “bogen”, hvori Gud har skrevet sine yndlingsbeviser. Populariteten af fritidsmatematik er et andet tegn på glæden ved at løse matematiske spørgsmål.
Notation, sprog og stringensRediger
De fleste af de matematiske notationer, der anvendes i dag, blev ikke opfundet før det 18. århundrede. Før det blev matematikken skrevet med ord, hvilket var en besværlig proces, der begrænsede den matematiske udvikling. I det 18. århundrede var Euler ansvarlig for mange af de notationer, der anvendes i dag. Moderne notation gør matematik meget nemmere for fagfolk, men kompliceret for begyndere. Notation reducerer matematikken til et minimum og gør, at nogle symboler indeholder en stor mængde information. Ligesom musikalsk notation har moderne matematisk notation en streng syntaks og koder information, som ellers ville være vanskelig at skrive.
Matematisk sprog kan også være svært for nybegyndere. Ord som or og only har mere præcise betydninger end i dagligsproget. Desuden har ord som “open” og “body” meget specifikke matematiske betydninger. Matematisk jargon, eller matematisk sprog, omfatter tekniske udtryk som homeomorfi eller integrabilitet. Grunden til behovet for at bruge notation og jargon er, at matematisk sprog kræver mere præcision end dagligsprog. Matematikere kalder denne præcision i sprog og logik for “stringens”.
Rigdom er en uundværlig betingelse, som et matematisk bevis skal have. Matematikere ønsker, at deres teoremer ud fra aksiomer skal følge en systematisk ræsonnement. Dette tjener til at undgå fejlagtige teoremer, der er baseret på fejlbarlige intuitioner, hvilket er sket flere gange i denne videnskabs historie. Den stringens, der forventes i matematikken, har varieret gennem tiden: grækerne søgte detaljerede argumenter, men på Isaac Newtons tid var de anvendte metoder mindre stringente. De iboende problemer med de definitioner, som Newton brugte, førte til en genoplivning af omhyggelige analyser og officielle demonstrationer i det 19. århundrede. Nu fortsætter matematikere med at støtte hinanden ved hjælp af computerstøttede demonstrationer.
Et aksiom fortolkes traditionelt som en “selvindlysende sandhed”, men denne opfattelse er problematisk. I den formelle verden er et aksiom ikke andet end en række symboler, som kun har en iboende betydning i forbindelse med alle de formler, der er afledt af et aksiomatisk system.
Matematik som videnskabRediger
Carl Friedrich Gauss kaldte matematikken for “videnskabernes dronning”. Både i det oprindelige latinske Scientiārum Regīna og i det tyske Königin der Wissenschaften skal ordet videnskab fortolkes som (vidensområde). Hvis videnskab anses for at være studiet af den fysiske verden, så er matematik, eller i det mindste ren matematik, ikke en videnskab.
Mange filosoffer mener, at matematik ikke er eksperimentelt falsificerbar og dermed ikke er en videnskab i henhold til Karl Poppers definition. I 1930’erne viser vigtige arbejder inden for matematisk logik imidlertid, at matematik ikke kan reduceres til logik, og Karl Popper konkluderede, at “de fleste matematiske teorier er, ligesom fysik og biologi, hypotetisk-deduktive”. Den rene matematik er således blevet tættere på naturvidenskaberne, hvis hypoteser er formodninger, som det har været tilfældet indtil nu”. Andre tænkere, især Imre Lakatos, har opfordret til en version af falsifikationismen for matematikken selv.
Et alternativt synspunkt er, at visse videnskabelige områder (såsom teoretisk fysik) er matematik med aksiomer, der hævder at svare til virkeligheden. Faktisk foreslår den teoretiske fysiker J.M. Ziman, at videnskab er “offentlig viden” og derfor også omfatter matematik. Under alle omstændigheder har matematikken meget til fælles med mange områder inden for de fysiske videnskaber, især udforskningen af de logiske konsekvenser af hypoteser. Intuition og eksperimentering spiller også en vigtig rolle i formuleringen af formodninger inden for matematik og andre videnskaber. Eksperimentel matematik fortsætter med at blive mere og mere repræsenteret inden for matematikken. Beregning og simulering spiller en stadig større rolle i både naturvidenskab og matematik, hvilket afbøder indvendingen om, at matematik ikke anvender den videnskabelige metode. I 2002 argumenterede Stephen Wolfram i sin bog A New Kind of Science for, at beregningsmatematik fortjener at blive udforsket empirisk som et videnskabeligt område.
Matematiker har meget forskellige holdninger til dette spørgsmål. Mange matematikere mener, at det at kalde deres felt for en videnskab er at minimere betydningen af dets æstetiske profil og at benægte dets historie inden for de syv liberale kunstarter. Andre mener, at hvis man ignorerer matematikkens forbindelse til videnskaberne, er det ensbetydende med at ignorere den indlysende forbindelse mellem matematikken og dens anvendelser inden for videnskab og teknik, som i høj grad har sat skub i udviklingen af matematikken. Et andet debatemne, som i nogen grad hænger sammen med det foregående, er, om matematikken blev skabt (som kunst) eller opdaget (som videnskab). Dette er et af de mange spørgsmål, der optager matematikkens filosofi.
Matematiske priser holdes generelt adskilt fra deres modstykker inden for videnskaben. Den mest prestigefyldte pris i matematik, Fields Medaljen, blev indstiftet i 1936 og uddeles hvert fjerde år. Den anses ofte for at svare til Nobelprisen for videnskab. Andre priser er Wolf-prisen i matematik, der blev oprettet i 1978, og som anerkender matematikeres livsværk, og Abel-prisen, en anden stor international pris, som blev indført i 2003. De to sidstnævnte tildeles for fremragende arbejde, som kan være banebrydende forskning eller løsningen af et enestående problem inden for et givet område. En berømt liste over disse 23 uløste problemer, kaldet “Hilbert-problemerne”, blev opstillet i 1900 af den tyske matematiker David Hilbert. Denne liste er blevet meget populær blandt matematikere, og mindst ni af problemerne er allerede blevet løst. En ny liste over syv grundlæggende problemer med titlen “Millenniumproblemer” blev offentliggjort i 2000. Løsningen på hvert af problemerne vil blive belønnet med 1 million dollars. Det er interessant, at kun én af dem (Riemann-hypotesen) optræder på begge lister.