$ \def\P{\mathcal P} % potensmængde \def\iff{\Linkshøjre pil}$

Mapping, eller forkortet map, er et af de mange synonymer, der anvendes for funktion.Især anvendes udtrykket map(ping) i generelle sammenhænge, såsom mængdelære, men brugen er ikke begrænset til disse tilfælde.

Mappingsbegrebet i mængdelære

I mængdelære er mappings særlige binære relationer.

En afbildning $f$ fra en mængde $A$ til en mængde $B$ eren (ordnet) tripel $ f = (A,B,G_f) $ hvor $ G_f \ delmængde A \ gange B $ således at

• (a) hvis $ (x,y) $ og $ (x,y’) \i G_f $, så er $ y=y’ $, og
• (b) projektionen $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \i G_f \} = A $.

Betingelse (a) udtrykker, at $f$ er enkeltværdig. ogBetingelse (b), at den er defineret på $A$.

$A$ er domænet, $B$ er kodomænet, og $G_f$ er grafen for afbildningen. I denne sammenhæng er afbildninger derfor ens, hvis og kun hvis alle tre tilsvarende komponenter (domæne, kodomæne og graf) er ens.
Afbildningen betegnes normalt som $ f : A \til B $, og $ a \maptil f(a) $ hvor $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ er værdien af $f$ ved $a$.

Hvis to afbildninger $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ og $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ opfylder

$ A_1 \submængde A_2 $, $ B_1 \ delmængde B_2 $ og $ G_1 \ delmængde G_2 $

så kaldes $f_2$ en udvidelse af $ f_1 $, og $ f_1 $ en begrænsning af $f_2$.I dette tilfælde betegnes $ f_1 $ ofte som $ f_2 \vert A_1 $, og det er klart, at $ f_1 (a) = f_2 (a) $ gælder for alle $ a \i A_1 $.

Remærkning:
I nogle tilfælde anvendes kun grafen $G_f$ til at repræsentere en funktion.I dette tilfælde er to afbildninger ens, hvis de har samme graf,og man kan tillade grafer, der ikke er mængder, men klasser.
Mens funktionens domæne kan fås som projektion $ \pi_1 (G_f) $ af den første komponent, giver projektionen $ \pi_2 (G_f) $ af den anden komponent ikke kodomænet, men kun billedet af domænet.Begrebet surjektivitet er således ikke anvendeligt.

Komposition

To afbildninger kan komponeres, hvis den ene afbildningens kodomæne er en delmængde af den anden afbildnings domæne:

For $ f=(A,B,G_f) $ og $ g=(C,D,G_g) $ med $ B \submængde C $ er sammensætningen $ g \circ f $ afbildningen $ (A,D,G) $ med

$ G := \{ (a,g(f(a)))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Bemærkninger:
(a) Betingelsen $ B \subset C $ kan lempes til $ f(A) \subset C $.
(b) Hvis der kun anvendes grafer, defineres kompositionens graf (som ovenfor) ved

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

men kan vise sig at være tom.

Inducerede afbildninger

Alle afbildninger $ f : A \til B $ inducerer to afbildninger mellem potensmængderne $\P(A)$ og $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \til \P(B) $ defineret ved $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ for $ S \submængde A $

og

$ f^\ast : \P(B) \til \P(A) $ defineret ved $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ for $ T \submængde B $

$ f_\ast (S) $ kaldes billedet af $S$ under $f$, normalt betegnet som $f(S)$, og$ f^\ast (T) $ kaldes det omvendte billede af $T$ under $f$, normalt betegnet som $f^{-1}(T)$,men man skal være opmærksom på, at disse almindelige betegnelser kan være tvetydige i visse situationer.