AristotelesRediger

Den tidligst kendte formulering findes i Aristoteles’ diskussion af princippet om ikke-modsigelse, som først blev foreslået i Om fortolkning, hvor han siger, at af to modstridende sætninger (dvs. hvor den ene sætning er negationen af den anden) må den ene være sand, og den anden falsk. Han anfører det også som et princip i Metafysik, bog 3, hvor han siger, at det i alle tilfælde er nødvendigt at bekræfte eller benægte, og at det er umuligt, at der skulle være noget mellem de to dele af en modsigelse.

Aristoteles skriver, at tvetydighed kan opstå ved brug af tvetydige betegnelser, men ikke kan eksistere i selve kendsgerningerne:

Det er altså umuligt, at “at være et menneske” netop skulle betyde “ikke at være et menneske”, hvis “menneske” ikke blot betegner noget om ét subjekt, men også har én betydning. … Og det vil ikke være muligt at være og ikke være det samme, undtagen i kraft af en tvetydighed, ligesom hvis en, som vi kalder “menneske”, og andre skulle kalde “ikke-menneske”; men det drejer sig ikke om dette, om den samme ting på samme tid kan være og ikke være et menneske af navn, men om den kan være det i virkeligheden. (Metafysik 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526).

Aristoteles’ påstand om, at “det vil ikke være muligt at være og ikke være den samme ting”, som i udsagnslogikken ville blive skrevet som ¬(P ∧ ¬P), er et udsagn, som moderne logikere kunne kalde loven om den udelukkede midte (P ∨ ¬P), da distributionen af negationen af Aristoteles’ påstand gør dem ækvivalente, uanset at førstnævnte påstår, at intet udsagn er både sandt og falsk, mens sidstnævnte kræver, at ethvert udsagn er enten sandt eller falsk.

Men Aristoteles skriver også: “Da det er umuligt, at modsætninger på samme tid er sande om den samme ting, kan modsætninger naturligvis heller ikke på samme tid høre til den samme ting” (Bog IV, CH 6, s. 531). Derefter foreslår han, at “der ikke kan være et mellemled mellem modsætninger, men af et subjekt må vi enten bekræfte eller benægte et hvilket som helst prædikat” (Bog IV, CH 7, s. 531). I forbindelse med Aristoteles’ traditionelle logik er dette en bemærkelsesværdig præcis udtalelse om loven om den udelukkede midte, P ∨ ¬P.

Også i Om fortolkning synes Aristoteles at benægte loven om den udelukkede midte i tilfælde af fremtidige kontingenter, i sin diskussion om søslaget.

LeibnizEdit

Den sædvanlige form, “Enhver dom er enten sand eller falsk” ….” (fra Kolmogorov i van Heijenoort, p. 421) fodnote 9: “Dette er Leibniz’ meget enkle formulering (se Nouveaux Essais, IV,2)” (ibid s 421)

Bertrand Russell og Principia MathematicaEdit

Princippet blev angivet som en sætning i udsagnslogikken af Russell og Whitehead i Principia Mathematica som:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \ \vdash .\ p\ p\ \vee \thicksim p}

.

Så hvad er “sandhed” og “falskhed”? Ved indledningen meddeler PM hurtigt nogle definitioner:

Sandheds-værdier. En sætnings “sandhedsværdi” er sandhed, hvis den er sand, og falskhed, hvis den er falsk* …sandhedsværdien af “p ∨ q” er sandhed, hvis sandhedsværdien af enten p eller q er sandhed, og er falskhed i modsat fald …den af “~ p” er det modsatte af den af p…” (s. 7-8)

Dette er ikke til megen hjælp. Men senere, i en meget dybere diskussion (“Definition og systematisk tvetydighed af sandhed og falskhed” kapitel II del III, s. 41 ff), definerer PM sandhed og falskhed i form af et forhold mellem “a” og “b” og “percipienten”. F.eks. “Dette ‘a’ er ‘b'” (f.eks. “Dette ‘objekt a’ er ‘rødt'”) betyder i virkeligheden “‘objekt a’ er et sanse-datum” og “‘rødt’ er et sanse-datum”, og de “står i relation” til hinanden og i relation til “jeg”. Det, vi i virkeligheden mener, er således: “Jeg opfatter, at ‘dette objekt a er rødt'”, og dette er en ubestridelig-ved-3. part “sandhed”.

PM definerer yderligere en skelnen mellem et “sanse-datum” og en “fornemmelse”:

Det vil sige, at når vi bedømmer (siger) “dette er rødt”, er det, der sker, en relation mellem tre termer, nemlig sindet og “dette” og “rødt”. På den anden side, når vi opfatter “det røde ved dette”, er der tale om en relation af to termer, nemlig sindet og det komplekse objekt “det røde ved dette” (s. 43-44).

Russell gentog sin skelnen mellem “sanse-datum” og “sensation” i sin bog The Problems of Philosophy (1912), der udkom samtidig med PM (1910-1913):

Lad os give navnet “sanse-data” til de ting, der er umiddelbart kendte i fornemmelsen: sådanne ting som farver, lyde, lugte, hårdheder, ruheder osv. Vi vil give navnet “sansning” til oplevelsen af at være umiddelbart bevidst om disse ting … Farven i sig selv er et sanse-datum, ikke en fornemmelse. (s. 12)

Russell beskrev yderligere sin argumentation bag sine definitioner af “sandhed” og “falskhed” i samme bog (kapitel XII, Sandhed og falskhed).

Konsekvenser af loven om den udelukkede midte i Principia MathematicaRediger

Fra loven om den udelukkede midte, formel ✸2.1 i Principia Mathematica, udleder Whitehead og Russell nogle af de mest kraftfulde værktøjer i logikerens argumentationsværktøjskasse. (I Principia Mathematica identificeres formler og sætninger med en ledende stjerne og to tal, f.eks. “✸2.1”.)

✸2.1 ~p ∨ p “Dette er loven om den udelukkede midte” (PM, s. 101).

Beviset for ✸2.1 er nogenlunde som følger: “primitive idé” 1.08 definerer p → q = ~p ∨ q. Ved at erstatte p med q i denne regel fås p → p = ~p ∨ p. Da p → p er sandt (dette er sætning 2.08, som bevises separat), må ~p ∨ p være sandt.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutation af påstandene er tilladt ved aksiom 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Princippet om dobbeltnegation, del 1: hvis “denne rose er rød” er sandt, så er det ikke sandt, at “‘denne rose er ikke-rød’ er sandt”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lemma sammen med 2.12 brugt til at udlede 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Princippet om dobbeltnegation, del 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Et af de fire “transpositionsprincipper”. Svarer til 1.03, 1.16 og 1.17. Her var en meget lang demonstration nødvendig.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Hvis det er sandt, at “Hvis denne rose er rød, så flyver denne gris”, så er det sandt, at “Hvis denne gris ikke flyver, så er denne rose ikke rød”.”)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Endnu et af “Principperne for transposition”.)
✸2.18 (~p → p) → p (Kaldes “Komplementet til reductio ad absurdum. Den fastslår, at en sætning, der følger af hypotesen om sin egen falskhed, er sand.” (PM, s. 103-104).)

De fleste af disse sætninger – i særdeleshed ✸2.1, ✸2.11 og ✸2.14 – afvises af intuitionismen. Disse redskaber omformes i en anden form, som Kolmogorov citerer som “Hilberts fire implikationsaksiomer” og “Hilberts to negationsaksiomer” (Kolmogorov i van Heijenoort, s. 335).

Sætninger ✸2.12 og ✸2.14, “dobbelt negation”: De intuitionistiske skrifter af L. E. J. Brouwer henviser til det, han kalder “princippet om de mangfoldige arters gensidighed, dvs. princippet om, at for ethvert system følger korrektheden af en egenskab af umuligheden af umuligheden af denne egenskab” (Brouwer, ibid., s. 335).

Dette princip kaldes almindeligvis “princippet om dobbeltnegation” (PM, s. 101-102). Fra loven om den udelukkede midte (✸2.1 og ✸2.11) udleder PM umiddelbart princip ✸2.12. Vi erstatter ~p med ~p for p i 2.11 for at få ~p ∨ ~(~p), og ved definitionen af implikation (dvs. 1.01 p → q = ~p ∨ q) fås ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (Afledningen af 2.14 er lidt mere indviklet.)

ReichenbachEdit

Det er korrekt, i det mindste for bivalent logik – dvs. det kan ses med et Karnaugh-kort – at denne lov fjerner “midten” af den inclusive-or, der bruges i hans lov (3). Og dette er pointen i Reichenbachs påvisning af, at nogle mener, at det eksklusive-or bør træde i stedet for det inkluderende-or.

Om dette spørgsmål (i ganske vist meget tekniske termer) bemærker Reichenbach:

Tertium non datur 29. (x) er ikke udtømmende i sine hovedbegreber og er derfor en opblæst formel. Denne kendsgerning kan måske forklare, hvorfor nogle mennesker finder det urimeligt at skrive (29) med det inkluderende-‘eller’, og ønsker at få den skrevet med tegnet af det ekskluderende-‘eller’ 30. (x), hvor symbolet “⊕” betyder eksklusiv-or, i hvilken form den ville være fuldt udtømmende og derfor nomologisk i snævrere forstand. (Reichenbach, s. 376)

I linje (30) betyder “(x)” “for alle” eller “for enhver”, en form, der blev brugt af Russell og Reichenbach; i dag er symbolikken normalt ∀ {\displaystyle \forall }

x. Et eksempel på udtrykket ville således se sådan ud:

• (gris): (Fluer(gris) ⊕ ~Fluer(gris))
• (For alle forekomster af “gris” set og uset): (“Gris flyver” eller “Gris flyver ikke”, men ikke begge dele samtidig)

Logikere versus intuitionisterRediger

Fra slutningen af 1800-tallet og frem til 1930’erne rasede en bitter, vedholdende debat mellem Hilbert og hans tilhængere versus Hermann Weyl og L. E. J. Brouwer. Brouwers filosofi, kaldet intuitionisme, startede for alvor med Leopold Kronecker i slutningen af 1800-tallet.

Hilbert var stærkt uenig i Kroneckers ideer:

Kronecker insisterede på, at der ikke kunne være nogen eksistens uden konstruktion. For ham, som for Paul Gordan , var Hilberts bevis for endeligheden af det invariante systems grundlag simpelthen ikke matematik. Hilbert derimod insisterede hele sit liv på, at hvis man kan bevise, at de attributter, der tildeles et begreb, aldrig vil føre til en modsigelse, så er begrebets matematiske eksistens dermed fastslået (Reid p. 34)

Det var hans påstand, at intet kunne siges at have matematisk eksistens, medmindre det rent faktisk kunne konstrueres med et endeligt antal positive hele tal (Reid s. 26)

Debatten havde en dybtgående effekt på Hilbert. Reid angiver, at Hilberts andet problem (et af Hilberts problemer fra den anden internationale konference i Paris i 1900) udsprang af denne debat (kursiv i originalen):

I sit andet problem havde Hilbert bedt om et matematisk bevis for konsistensen af aksiomerne i aritmetikken for de reelle tal. For at vise betydningen af dette problem tilføjede han følgende bemærkning: “Hvis et begreb tildeles modstridende egenskaber, siger jeg, at begrebet matematisk set ikke eksisterer.” (Reid s. 71)

Sådan sagde Hilbert: “Hvis et begreb har modstridende egenskaber, så siger jeg, at det matematisk set ikke eksisterer: “

Og endelig begrænsede konstruktivisterne … matematikken til studiet af konkrete operationer på finitte eller potentielt (men ikke reelt) uendelige strukturer; færdige uendelige totaliteter … blev afvist, ligesom indirekte beviser baseret på loven om den udelukkede midte. Mest radikale blandt konstruktivisterne var intuitionisterne, ledet af den tidligere topolog L. E. J. Brouwer (Dawson s. 49)

Den rabiate debat fortsatte gennem de tidlige 1900’ere og ind i 1920’erne; i 1927 klagede Brouwer over “polemik mod den i hånlige toner” (Brouwer i van Heijenoort, s. 492). Men debatten var frugtbar: den resulterede i Principia Mathematica (1910-1913), og dette værk gav en præcis definition af loven om den udelukkede midte, og alt dette skabte en intellektuel ramme og de nødvendige redskaber for matematikerne i det tidlige 20. århundrede:

Ud af racismen, og til dels affødt af den, opstod der flere vigtige logiske udviklinger…Zermelos axiomatisering af mængdelæren (1908a) … som to år senere blev fulgt op af første bind af Principia Mathematica …. hvori Russell og Whitehead viste, hvordan meget af aritmetikken via typeteorien kunne udvikles med logikistiske midler (Dawson p. 49)

Brouwer reducerede debatten til brugen af beviser udformet ud fra “negative” eller “ikke-eksistens” versus “konstruktive” beviser:

Ifølge Brouwer betyder et udsagn om, at der findes et objekt med en given egenskab, at, og er kun bevist, når man kender en metode, som i det mindste i princippet vil gøre det muligt at finde eller konstruere et sådant objekt … Hilbert var naturligvis uenig. “rene eksistensbeviser har været de vigtigste milepæle i den historiske udvikling af vores videnskab”, fastholdt han. (Reid s. 155) Brouwer … nægtede at acceptere det logiske princip om den udelukkede midte … Hans argument var følgende: “Antag, at A er udsagnet “Der findes et medlem af mængden S, som har egenskaben P.” Hvis mængden er endelig, er det i princippet muligt – i princippet – at undersøge hvert medlem af S og afgøre, om der findes et medlem af S med egenskaben P, eller at hvert medlem af S mangler egenskaben P. For endelige mængder accepterede Brouwer derfor princippet om den udelukkede midte som gyldigt. Han nægtede at acceptere det for uendelige mængder, fordi hvis mængden S er uendelig, kan vi ikke – selv i princippet – undersøge hvert enkelt medlem af mængden. Hvis vi i løbet af vores undersøgelse finder et medlem af mængden med egenskaben P, er det første alternativ underbygget; men hvis vi aldrig finder et sådant medlem, er det andet alternativ stadig ikke underbygget. Da matematiske sætninger er ofte bevist ved at fastslå, at negationen ville involvere os i en modsigelse, ville denne tredje mulighed, som Brouwer foreslog, sætte spørgsmålstegn ved mange af de matematiske udsagn, der i øjeblikket accepteres. “At tage princippet om den udelukkede midte fra matematikeren”, sagde Hilbert, “er det samme som … at forbyde bokseren at bruge sine knytnæver.” “Det mulige tab syntes ikke at genere Weyl … Brouwer’s program var den kommende ting, insisterede han over for sine venner i Zürich.” (Reid, s. 149)}}}

I sin forelæsning i 1941 på Yale og den efterfølgende artikel foreslog Gödel en løsning: “at negationen af en universel sætning skulle forstås som en bekræftelse af eksistensen … af et modeksempel” (Dawson, s. 157))

Gödels tilgang til loven om den udelukkede midte var at hævde, at indvendinger mod “brugen af ‘imprediktive definitioner'” “havde mere vægt” end “loven om den udelukkede midte og beslægtede sætninger i propositional calculus” (Dawson s. 156). Han foreslog sit “system Σ … og han afsluttede med at nævne flere anvendelser af sin fortolkning. Blandt dem var et bevis for konsistensen med intuitionistisk logik af princippet ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (på trods af inkonsekvensen af antagelsen ∃ A: ~ (A ∨ ~A)” (Dawson, s. 157)

Debatten syntes at blive svækket: matematikere, logikere og ingeniører fortsætter med at bruge loven om den udelukkede midte (og dobbelt negation) i deres daglige arbejde.

Intuitionistiske definitioner af loven (princippet) om den udelukkede midteRediger

Det følgende fremhæver det dybe matematiske og filosofiske problem bag det at “vide”, og hjælper også med at belyse, hvad “loven” indebærer (dvs. hvad loven virkelig betyder). Deres vanskeligheder med loven kommer frem: at de ikke ønsker at acceptere som sande implikationer hentet fra det, der ikke kan verificeres (ikke kan testes, ikke kan vides) eller fra det umulige eller det falske. (Alle citater er fra van Heijenoort, kursiveret tilføjet).

Brouwer tilbyder sin definition af “princippet om den udelukkede midte”; vi ser her også spørgsmålet om “testbarhed”:

På grundlag af den netop nævnte testbarhed gælder for egenskaber, der er opfattet inden for et bestemt endeligt hovedsystem, “princippet om den udelukkede midte”, dvs. princippet om, at for ethvert system er enhver egenskab enten rigtig eller umulig, og i særdeleshed princippet om de komplementære arters gensidighed, dvs. princippet om, at for ethvert system følger en egenskabs rigtighed af umuligheden af umuligheden af denne egenskab. (335)

Kolmogorovs definition citerer Hilberts to negationsaksiomer

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

Hilberts første negationsaksiom, “alt følger af det falske”, gjorde først sit indtog med den symbolske logiks fremkomst, ligesom det første implikationsaksiom…. mens … det pågældende aksiom hævder noget om konsekvenserne af noget umuligt: vi er nødt til at acceptere B, hvis den sande dom A betragtes som falsk … Hilberts andet negationsaksiom udtrykker princippet om den udelukkede midte. Princippet udtrykkes her i den form, som det anvendes i forbindelse med afledninger: hvis B følger af A såvel som af ~A, så er B sandt. Dens sædvanlige form, “enhver dom er enten sand eller falsk”, svarer til den ovenfor anførte”. Ud fra den første fortolkning af negationen, dvs. forbuddet mod at betragte dommen som sand, er det umuligt at få vished for, at princippet om den udelukkede midte er sandt … Brouwer viste, at i tilfælde af sådanne transfinitte domme kan princippet om den udelukkede midte ikke betragtes som indlysende fodnote 9: “Dette er Leibniz’ meget enkle formulering (se Nouveaux Essais, IV,2). Formuleringen “A er enten B eller ikke-B” har intet med logikken i domme at gøre. fodnote 10: “Symbolsk udtrykkes den anden form således A ∨ ~A

hvor ∨ betyder “eller”. Ækvivalensen af de to former er let at bevise (s. 421)