Terminologi

Fysiske systemer er opdelt i typer i henhold til deres uforanderlige (eller “tilstandsuafhængige”) egenskaber, og et systems tilstand på et tidspunkt består af en fuldstændig specifikation af de af dets egenskaber, der ændrer sig med tiden (dets “tilstandsafhængige” egenskaber). For at give en fuldstændig beskrivelse af et system er vi derfor nødt til at sige, hvilken type system det er, og hvad dets tilstand er på hvert tidspunkt i dets historie.

En fysisk størrelse er en gensidigt udelukkende og i fællesskab udtømmende familie af fysiske egenskaber (for dem, der kender denne måde at tale på, er det en familie af egenskaber med strukturen af cellerne i en skillevæg). Ved at vide, hvilke slags værdier en mængde kan antage, kan vi få meget at vide om forholdet mellem de egenskaber, som den er sammensat af. Værdierne af en bivalent størrelse udgør f.eks. et sæt med to medlemmer; værdierne af en realværdikvantitet udgør et sæt med de reelle tals struktur. Dette er et særligt tilfælde af noget, som vi vil se igen og igen, nemlig,at det at vide, hvilken slags matematiske objekter der repræsenterer elementerne i en mængde (her værdierne af en fysisk størrelse; senere de tilstande, som et system kan antage, eller de størrelser, der vedrører det), fortæller os meget meget meget (ja, faktisk, vel at mærke alt, hvad der er at vide) om relationerne mellem dem.

I kvantemekaniske sammenhænge bruges udtrykket “observerbar” i flæng med “fysisk størrelse” og bør behandles som et teknisk udtryk med samme betydning. Det er ikke tilfældigt, at de tidlige udviklere af teorien valgte dette udtryk, men valget blev truffet af grunde, som i dag ikke er almindeligt accepteret. Et systems tilstandsrum er det rum, der udgøres af mængden af dets mulige tilstande, dvs. de fysisk mulige måder at kombinere værdierne af de størrelser, der karakteriserer det internt. I klassiske teorier betegnes et sæt af størrelser, der danner et superveniensgrundlag for resten, typisk som “grundlæggende” eller “fundamental”, og da enhver matematisk mulig måde at kombinere deres værdier på er en fysisk mulighed, kan tilstandsrummet opnås ved blot at tage disse som koordinater. Således er f.eks. tilstandsrummet for et klassisk mekanisk system bestående af \(n\) partikler, som fås ved at angive værdierne af\(6n\) reelle størrelser – tre positionskomponenter og tre impulskomponenter for hver partikel i systemet – et\(6n\)-dimensionelt koordinatrum. Hver mulig tilstand i et sådant system svarer til et punkt i rummet, og hvert punkt i rummet svarer til en mulig tilstand i et sådant system. Situationen er lidt anderledes i kvantemekanikken, hvor der findesmatematisk beskrivelige måder at kombinere værdierne af de størrelser, der ikke repræsenterer fysisk mulige tilstande. Som vi vil se, er kvantemekanikkens tilstandsrum særlige former for vektorrum, såkaldte Hilbert-rum, og de har mere intern struktur end deres klassiske modstykker.

En struktur er et sæt af elementer, hvorpå visse operationer og relationer er defineret, en matematisk struktur er blot en struktur, hvor elementerne ermatematiske objekter (tal, mængder, vektorer) og operationernematematiske, og en model er en matematisk struktur, der bruges til at repræsentere en fysisk betydningsfuld struktur i verden.

Kvantemekanikkens hjerte og sjæl er indeholdt i Hilbert-rummene, der repræsenterer de kvantemekaniske systemers tilstandsrum.De interne relationer mellem tilstande og størrelser og alt, hvad dette indebærer om kvantemekaniske systemers adfærd, er alle vævet ind i strukturen af disse rum og er indlejret i relationerne mellem de matematiske objekter, der repræsenterer dem. Det betyder, at forståelsen af, hvordan et system er i henhold til kvantemekanikken, ikke kan adskilles fra kendskabet til den interne struktur af disse rum. Hvis man kender Hilbert-rummet og bliver fortrolig med de dynamiske love, der beskriver de vectorers vej gennem det, ved man alt, hvad der er at vide om de systemer, som teorien beskriver.

Med at “kende Hilbert-rummet” mener jeg mere end at have en beskrivelse eller et kort over det; det har enhver, der har en kvantemekanisk lærebog på hylden. Jeg mener, at man skal kunne finde rundt i det på samme måde som man kan finde rundt i den by, man bor i. Det er en praktisk form for viden, der kommer gradvist, og den erhverves bedst ved at lære at løse problemer i den form: Hvordan kommer jeg fra A til B? Kan jeg komme dertil uden at gå gennem C? Og hvad er den korteste vej? Studerende med en kandidatgrad i fysik bruger lange år på at blive fortrolige med Hilbert-rummets kroge og hjørner, lokalisere velkendte landemærker, betræde de slagne stier, lære, hvor der findes hemmelige passager og blindgyder, og udvikle en fornemmelse for den overordnede beliggenhed af området. De lærer at navigere i Hilbert-rummet på samme måde som en taxachauffør lærer at navigere i sin by.

Hvor meget af denne form for viden er nødvendig for at nærme sig de filosofiske problemer, der er forbundet med teorien? I begyndelsen ikke særlig meget: kun de mest generelle kendsgerninger om landskabets geometri (som under alle omstændigheder, i modsætning til de fleste byer, er smukt organiseret) og de veje, som (de vektorer, der repræsenterer systemernes tilstande) bevæger sig gennem dem. Det er det, der vil blive introduceret her: først lidt let matematik og derefter, i en nøddeskal, teorien.

Matematik

2.1 Vektorer og vektorrum

En vektor \(A\), skrevet “\(\(\ket{A}\)”, er et matematisk objekt, der er karakteriseret ved en længde, \(|A|\), og en retning. En anormaliseret vektor er en vektor med længde 1, dvs. \(|A| = 1\). Vektorer kan lægges sammen, multipliceres med konstanter (herunder komplekse tal) og multipliceres sammen. Vektoraddition afbilder ethvert par af vektorer på en anden vektor, nærmere bestemt den vektor, man får ved at flytte den anden vektor, så dens hale falder sammen med spidsen af den første, uden at ændre længden eller retningen af nogen af dem, og ved derefter at sammenføje halen af den første med spidsen af den anden. Denne additionsregel er kendt som parallelogramloven. Så hvis man f.eks. adderer vektorerne \(\ket{A}\) og \(\ket{B}\), får man vektoren \(\ket{C}) (= \ket{A} + \ket{B})\) som i figur 1:

Multiplikation af en vektor \(\ket{A}\) med \(n\), hvor \(n\) erkonstant, giver en vektor, der er i samme retning som \(\ket{A}\), men hvis længde er \(n\) gange \(\ket{A}\)’s længde.

I et reelt vektorrum er det (indre eller punktformede) produkt af et vektorpar \(\ket{A}\) og \(\ket{B}\), skrevet “\(\braket{A}{B}}\)”, en skalar, der er lig med produktet af deres længder (eller “normer”) gange cosinus af vinklen \(\theta\) mellem dem:

Lad \(\ket{A_1}\) og \(\ket{A_2}\) være vektorer af længde 1 (“enhedsvektorer”), således at \(\(\braket{A_1}{A_2}{A_2} = 0\). (Vinklen mellem disse to enhedsvektorer skal være 90 grader.) Så kan vi repræsentere enhver todimensionel vektor \(\ket{B}\) i form af vores enhedsvektorer på følgende måde:

\

Her er f.eks. en graf, der viser, hvordan \(\ket{B}\) kan repræsenteres som summen af de to enhedsvektorer \(\ket{A_1}\) og \(\ket{A_2}\):

Nu skal definitionen af det indre produkt \(\braket{A}{B}}\) modificeres, så det gælder for komplekse rum. Lad \(c^*\) være det komplekse konjugat af \(c\). (Når \(c\) er et komplekst tal af formen \(a \pm bi\), er det komplekse konjugat\(c^*\) til \(c\) defineret på følgende måde:

\^* = a-bi \\^* = a+bi\]

Så for alle komplekse tal \(c\) er \(^* = c\), men \(c^* = c\) kun i tilfælde af at \(c\) er reelt). Nu kan det indre produkt af \(\ket{A}\) og \(\(\ket{B}\) for komplekse rum defineres i form af konjugater af komplekse koefficienter som følger. Hvor \(\ket{A_1}\) og \(\ket{A_2}\) er de tidligere beskrevne enhedsvektorer, \(\ket{A} = a_1 \ket{A_1} + a_2 \ket{A_2}\) og \(\ket{B} = b_1 \ket{A_1} + b_2 \ket{A_2}\), så er

\\

Det mest generelle og abstrakte begreb om et indre produkt, som vi nu har defineret to specialtilfælde af, er som følger. \(\braket{A}{B}{B}\) er et indre produkt på et vektorrum \(V\) netop i det tilfælde

1. \(\braket{A}{A}{A} = |A|^2\), og \(\braket{A}{A}{A}=0\) hvis og kun hvis \(A=0\)
2. \(\braket{B}{A} = \braket{A}{B}{B}^*\)
3. \(\braket{B}{A+C}=\braket{B}{A}{A} + \braket{B}{C}}\).

Deraf følger, at

1. længden af \(\ket{A}}\) er kvadratroden af inderproduktet af \(\ket{A}}\) med sig selv, dvs,\

og

1. \(\ket{A}\) og \(\ket{B}\) er vinkelrette på hinanden, eller ortogonale, hvis og kun hvis \(\braket{A}{B}}\).

Et vektorrum er et sæt af vektorer, der er lukket under addition og multiplikation med konstanter, et indre produktrum er et vektorrum, hvor operationen vektormultiplikation er blevet defineret, og dimensionen af et sådant rum er det maksimale antal ikke-nul, gensidigt ortogonale vektorer, det indeholder.

En samling af \(N\) gensidigt ortogonale vektorer af længde 1 i et\(N\)-dimensionelt vektorrum udgør en ortonormal basis for dette rum. Lad \(\ket{A_1}, \ldots, \ket{A_N}\) være en sådan samling af enhedsvektorer. Så kan hvervektor i rummet udtrykkes som en sum af formen:

\

hvor \(b_i = \braket{B}{A_i}{A_i}\). \(b_i\)’erne her er kendt som \(B\)’s ekspansionskoefficienter i \(A\)-basis.

Bemærk, at:

1. for alle vektorer \(A\), \(B\) og \(C\) i et givet rum,\
2. for alle vektorer \(M\) og \(Q\), udtrykt i \(A\)-grundlaget,\

   og

   \

Der er en anden måde at skrive vektorer på, nemlig ved at skrive ekspansionskoefficienterne (i forhold til en given basis) i en kolonne, som f.eks:

\

hvor \(q_i = \braket{Q}{A_i}\) og \(A_i\) er de valgte basisvektorer.

Når vi har at gøre med vektorrum af uendelig dimension, davi ikke kan skrive hele den kolonne af ekspansionskoefficienter, der er nødvendig for at udpege en vektor, da den ville være uendelig lang, så skriver vi i stedet den funktion (kaldet “bølgefunktion” for\(Q\), normalt repræsenteret \(\psi(i))\), der har disse koefficienter som værdier. Vi skriver altså funktionen:

\

Givet en hvilken som helst vektor i og en hvilken som helst basis for et vektorrum kan vi få vektorens bølgefunktion i den pågældende basis; og givet en bølgefunktion for en vektor i en bestemt basis kan vi konstruere den vektor, hvis bølgefunktion det er. Da det viser sig, at de fleste af de vigtige operationer på vektorer svarer til simple algebraiske operationer på deres bølgefunktioner, er dette den sædvanlige måde at repræsentere statsvektorer på.

Når et par fysiske systemer interagerer, danner de et sammensat system, og i kvantemekanikken som i den klassiske mekanik er der en regel for konstruktion af et sammensat systems tilstandsrum ud fra dets komponenters tilstandsrum, en regel, der fortæller os, hvordan vi ud fra tilstandsrummene \(H_A\) og \(H_B\) for henholdsvis \(A\) og \(B\) kan opnå parrets tilstandsrum – kaldet “tensorproduktet” af \(H_A\) og \(H_B\) og skrevet\(H_A \otimes H_B\) – for parret. Der er to vigtige ting ved reglen; for det første vil \(H_A\) og \(H_B\) også være Hilbert-rum, så længe \(H_A \otimes H_B\) er Hilbert-rum, og for det andet er der nogle kendsgerninger om den måde\(H_A \otimes H_B\) forholder sig til \(H_A\) og \(H_B\) på, som har overraskende konsekvenser for forholdet mellem det komplekse system og dets dele. Det viser sig bl.a., at tilstanden i et sammensat system ikke entydigt er defineret af tilstanden i dets komponenter. Det betyder, eller synes i det mindste at betyde, at der ifølge kvantemekanikken er kendsgerninger om sammensatte systemer (og ikke kun kendsgerninger om deres rumlige konfiguration), der ikke er overordnet på kendsgerninger om deres komponenter; det betyder, at der er kendsgerninger om systemer som helheder, der ikke er overordnet på kendsgerninger om deres dele og den måde, hvorpå disse dele er arrangeret i rummet. Betydningen af dette træk ved teorien kan ikke overspilles; det er på den ene eller anden måde involveret i de fleste af de vanskeligste problemer i teorien.

Lidt mere detaljeret: Hvis \(\(\{v_{{{i}^A\}\) er et ortonormalt grundlag for \(H_A\) og \(\(\{u_{j}^B\}\) er et ortonormalt grundlag for \(H_B\), så anses mængden af par \((v_{i}^A, u_{j}^B)\) for at udgøre et ortonormalt grundlag for tensorproduktrummet \(H_A \otimes H_B\). Der anvendes betegnelsen \(v_i^A \otimes u_j^B\) for parret \((v_{i}^A,u_{j}^B)\), og det indre produkt på \(H_A \otimes H_B\) er defineret som:

\

Det er et resultat af denne konstruktion, at selv om hver vektor i\(H_A \otimes H_B\) er en lineær sum af vektorer, der kan udtrykkes i formen\(v^A \otimes u^B\), er ikke hver vektor i rummet selv udtrykkelig i denne form, og det viser sig, at

1. nogle sammensatte tilstande definerer entydigt tilstande af deres komponenter.
2. hvis tilstande i \(A\) og \(B\) er rene (dvs, kan repræsenteres af henholdsvis vektorerne \(v^A\) og \(u^B\)), så er tilstanden i \((A+B)\) ren og repræsenteret ved\(v^A \otimes u^B\), og
3. hvis tilstanden af \((A+B)\) er ren og kan udtrykkes i formen \(v^A \otimes u^B\), så er tilstanden af \(A\) og \(B\) rene, men
4. hvis tilstanden af \(A\) og \(B\) ikke er rene, dvs.e., hvis de er blandede tilstande (disse defineres nedenfor), definerer de ikke entydigt tilstanden \((A+B)\); det kan især være en ren tilstand, der ikke kan udtrykkes i formen \(v^A \otimes u^B\).

2.2 Operatorer

En operator \(O\) er en afbildning af et vektorrum på sig selv; den tager en hvilken som helst vektor \(\ket{B}\) i et rum på en anden vektor \(\ket{B’}\) også i rummet; \(O \ket{B} = \ket{B’}\). Lineære operatører er operatører, der har følgende egenskaber:

1. \(O(\ket{A} + \ket{B}) = O \ket{A}) = O \ket{A}
2. \(O(c \ket{A}) = c(O \ket{A})\).

Som enhver vektor i et \(N\)-dimensionelt rum kan repræsenteres ved en kolonne af \(N\)-tal, i forhold til et valg af basis for rummet, kan enhver lineær operatør på rummet repræsenteres i en kolonnenotation ved \(N^2\)-tal:

\

hvor \(O_{ij} = \braket{A_i}{O \mid A_j}\) og \(A_N\) er basisvektorerne for rummet. Virkningen af den lineære operatør \(O\) på vektoren\(B\) er således givet ved

\\

To definitioner mere, før vi kan sige, hvad Hilbert-rum er, og så kan vi gå over til kvantemekanikken. \(\ket{B}\) er en egenvektor af \(O\) med egenværdien \(a\), hvis, og kun hvis, \(O \ket{B} = a \ket{B}\).Forskellige operatører kan have forskellige egenvektorer, men forholdet mellem egenvektor og operatør afhænger kun af den pågældende operatør og de pågældende vektorer og ikke af den særlige basis, som de er udtrykt i; forholdet mellem egenvektor og operatør er, det vil sige, invariant under ændring af basis. En hermiteansk operator er en operator, som har den egenskab, at der findes en ortonormal basis bestående af dens egenvektorer, og at disse egenværdier alle er reelle.

Et Hilbert-rum, endelig, er et vektorrum, hvorpå et indre produkt er defineret, og som er komplet, dvs. som er sådan, at enhver Cauchy-sekvens af vektorer i rummet konvergerer til en vektor i rummet. Alle finite-dimensionelle indre produktrum er fuldstændige, og jeg vil begrænse mig til disse. Det uendelige tilfælde indebærer nogle komplikationer, som det ikke er frugtbart at gå ind i på dette stadium.

Kvantemekanik

Fire grundlæggende principper for kvantemekanikken er:

(3.1)

Fysiske tilstande: Ethvert fysisk system er forbundet med et Hilbert-rum, hver enhedsvektor i rummet svarer til en mulig ren tilstand af systemet, og hver mulig ren tilstand svarer til en vektor i rummet.

(3.2)

Fysiske størrelser: Hermitiske operatører i Hilbert-rummet, der er forbundet med et system, repræsenterer fysiske størrelser, og deres egenværdier repræsenterer de mulige resultater af målinger af disse størrelser.

Der er en operatør, kaldet Hamiltonianen, som spiller en særlig rolle i kvanteteorien, fordi et systems dynamik kan formuleres på en bekvem måde ved at følge dets udvikling. Hamiltonianen – skrevet \(H\), eller \(\(\hat{H}\) – står for systemets samlede energi. Dens egenværdier er de mulige resultater, der kan opnås ved målinger af den samlede energi. Den fås ved at summere den kinetiske og potentielle energi af systemets komponenter.

(3.3)

Sammensætning: Det Hilbertrum, der er forbundet med et komplekst system, er tensorproduktet af de tensorrum, der er forbundet med de simple systemer (i den standardiserede, ikke-relativistiske teori: de enkelte partikler), som det er sammensat af.

(3.4) Dynamik. a.

Sammenhænge af type 1: Givet et systems tilstand på t\(t\) og de kræfter og begrænsninger, som det er underlagt, findes der en ligning, “Schrödingers sekvens”, der giver tilstanden på et hvilket som helst andet tidspunkt \(U\ket{v_t} \rightarrow \{v_{t’}}\). De vigtige egenskaber ved \(U\) for vores formål er, at den er deterministisk, hvilket vil sige, at den fører systemets tilstand på et tidspunkt til en entydig tilstand på et hvilket som helst andet tidspunkt, den er unitær, hvilket betyder, at den er en automorfi af det Hilbert-rum, som den virker på (dvs, dvs. en omdannelse af dette rum til sig selv, der bevarer den lineære rumstruktur og det indre produkt), og den er lineær, hvilket vil sige, at hvis den overfører en tilstand \(\ket{A}\) til tilstanden\(\ket{A’}\), og det tager tilstanden \(\ket{B}\) til tilstanden \(\ket{B’}\), så tager det enhver tilstand af formen \(\alpha \ket{A} + \beta \ket{B}\) til tilstanden \(\alpha \ket{A’} + \beta\ket{B’}\).

b.

Sammenhænge af type 2 (“målekontekster”): Gennemførelse af en “måling” af en observerbar \(B\) på et system i en tilstand \(\ket{A}\) har den virkning, at systemet kollapser ind i en \(B\)-eigentilstand, der svarer til den observerede egenværdi. Dette er kendt som kollapspostulatet. Hvilken bestemt \(B\)-eigentilstand det kollapser ind i er et spørgsmål om sandsynlighed, og sandsynlighederne er givet ved en regel kendt som Borns regel:

\

Der er to vigtige punkter at bemærke om disse to slags kontekster:

• Den kvantemekaniske skelnen mellem kontekster af type 1 og 2 er endnu ikke klarlagt; det er ikke lykkedes nogen at sige på en fuldstændig tilfredsstillende måde i de termer, som teorien giver, hvilke kontekster der er målekontekster, og
• Selv om denne skelnen er klarlagt, er det et åbent fortolkningsspørgsmål, om der findes kontekster af type 2; dvs.e., det er et åbent fortolkningsspørgsmål, om der findes nogen sammenhænge, hvorsystemer styres af en anden dynamisk regel end Schrödingers ligning.

Strukturer i Hilbert-rummet

Jeg bemærkede ovenfor, at på samme måde som al den information, vi har om relationerne mellem steder i en by, er indeholdt i de rumlige relationer mellem de punkter på et kort, der repræsenterer dem, er al den information, vi har om de interne relationer mellem (og mellem) tilstande og mængder i kvantemekanikken, indeholdt i de matematiske relationer mellem de vektorer og operatører, der repræsenterer dem. Ud fra et matematisk synspunkt er det, der virkelig adskiller kvantemekanikken fra dens klassiske forgængere, at tilstande og størrelser har en mere omfattende struktur; de udgør familier med et mere interessant netværk af relationer mellem deres medlemmer.

Alle de fysisk betydningsfulde træk ved kvantemekaniske systemers adfærd er konsekvenser af matematiske egenskaber ved disse relationer, og de vigtigste af dem kan let opsummeres:

(P1)

Alle måder at addere vektorer i et Hilbert-rum eller multiplicere dem med skalarer vil give en vektor, der også er i rummet. Hvis vektoren er normaliseret, vil den ifølge (3.1) repræsentere en mulig tilstand i systemet, og hvis den er summen af et par egenvektorer af en observerbar \(B\) med forskellige egenværdier, vil den ikke selv være en egenvektor af \(B\), men vil ifølge (3.4b) være forbundet med et sæt af sandsynligheder for at vise det ene eller det andet resultat ved \(B\)-målinger.

(P2)

For enhver hermitisk operatør på et Hilbert-rum er der andre, på samme rum, som den ikke deler et fuldt sæt egenvektorer med; det er faktisk let at vise, at der er andre sådanne operatører, som den ikke har nogen egenvektorer til fælles med.

Hvis vi gør et par yderligere fortolkningsmæssige antagelser, kan vi sige mere. Antag for eksempel, at

(4.1)

Hver Hermitisk operatør på Hilbert-rummet, der er forbundet med et system, repræsenterer en bestemt observerbar og (dermed)hver normaliseret vektor, en bestemt tilstand, og

(4.2)

Et system har en værdi for observerbar \(A\), hvis og kun hvis den vektor, der repræsenterer dets tilstand, er en egentilstand for \(A\)-operatoren. Den værdi, det har i et sådant tilfælde, er blot den egenværdi, der er forbundet med denne egentilstand.

Det følger af (P2), ved (3.1), at ingen kvantemekanisk tilstand er en egentilstand for alle observabler (og at der faktisk er observabler, som ikke har nogen egentilstande til fælles), og således følger det af (3.1), at ingen kvantemekanisk tilstand er en egentilstand for alle observabler (og at der faktisk er observabler, som ikke har nogen egentilstande til fælles), og således, ved (3.2), at intet kvantemekanisk system nogensinde har samtidige værdier for alle de størrelser, der hører til det (og at der faktisk er par af størrelser, som ingen tilstand tildeler samtidige værdier).

Der findes hermitiske operatører på tensorproduktet\(H_1 \otimes H_2\) af et par Hilbert-rum\(H_1\) og \(H_2\) … I tilfælde af at \(H_1\) og \(H_2\) er tilstandsrummene for systemerne \(S1\) og \(S2\), er \(H_1 \otimes H_2\) tilstandsrummet for det komplekse system \((S1+S2)\). Det følger af dette ved (4.1), at der er observabler tilhørende \((S1+S2)\), hvis værdier ikke er bestemt af værdierne af observabler tilhørende de to individuelt.

Dette er alle direkte konsekvenser af at tage vektorer og operatører i Hilbert-rummet til at repræsentere henholdsvis tilstande og observabler og anvende Borns regel (og senere (4.1) og (4.2)) for at give empirisk mening til tilstandstildelinger. Den virkelige vanskelighed ved at forstå kvantemekanikken ligger i at få styr på dens implikationer – fysiske, metafysiske og epistemologiske.

Alle, der forsøger at forstå, hvad kvantemekanikken siger om verden, må tage fat på en enkelt kendsgerning. Dette problem er ikke et spørgsmål om Hilbert-rummene, men om dynamikken – de regler, der beskriver de baner, som systemerne følger gennem rummet. Ud fra et fysisk synspunkt er det langt mere bekymrende end noget andet, der er blevet diskuteret indtil nu. Det giver ikke blot vanskeligheder for nogen, der forsøger at fortolke teorien, men synes også at pege på en logisk uoverensstemmelse i teoriens grundlag.

Sæt, at vi har et system \(S\) og en anordning \(S^*\), der måler en observerbar \(A\) på \(S\) med værdier \(\{a_1,a_2, a_3, …\}\). Så er der en tilstand på \(S^*\) (grundtilstanden) og en observerbar \(B\) med værdier \(\{b_1, b_2, b_3, …\}\\\), der hører til \(S^*\) (dens “pointerobservabel”, der kaldes sådan, fordi det er det, der spiller rollen som pointeren på en urskive på forsiden af et skematisk måleinstrument ved registrering af resultatet af eksperimentet), som er sådan, at hvis\(S^*\) starter i sin grundtilstand og interagerer på en passende måde med \(S\), og hvis værdien af \(A\) umiddelbart før interaktionen er\(a_1\), så er \(B\)’s værdi umiddelbart derefter\(b_1\). Hvis derimod \(A\)’s værdi umiddelbart før interaktionen er \(a_2\), er \(B\)’s værdi bagefter \(b_2\); hvis \(A\)’s værdi umiddelbart før interaktionen er \(a_3\), er \(B\)’s værdi umiddelbart efter \(b_3\), og så videre. Det er netop det, der menes med at sige, at \(S^*\) måler \(A\). Så hvis vi repræsenterer den fælles, delvise tilstand af \(S\\) og \(S^*\) (blot den del af den, der specificerer værdien af , den observabel, hvis værdier svarer til fælles tildelinger af værdier til den målte observabel på \(S\) og den pegende observabel på \(S^*\))) ved vektoren \(\ket{A=a_i}_s \ket{B=b_i}_{s^*}\), og lad “\(\rightarrow\)” stå for den dynamiske beskrivelse af vekselvirkningen mellem de to, at sige, at \(S^*\) er et måleinstrument for \(A\), er at sige, at de dynamiske love medfører, at,

\

og så videre.

Intuitivt er \(S^*\) et måleinstrument for en observerbar \(A\), hvis der er en observerbar egenskab ved \(S^*\) (det er ligegyldigt hvad, bare noget hvis værdier kan fastslås ved at se på apparatet), som er korreleret med \(A\)-værdierne af systemer, der er ført ind i apparatet, på en sådan måde, at vi kan aflæse disse værdier af \(S^*\)’s observerbare tilstand efter vekselvirkningen. I filosofisk sprogbrug er \(S^*\\) et måleinstrument for \(A\), hvis der er en eller anden observerbar egenskab ved \(S^*\), som følger eller angiver \(A\)-værdierne i de systemer, som den interagerer med på en passende måde.

Nu følger det af (3.1) ovenfor, at der er tilstande af \(S\) (for mange til at tælle), som ikke er egentilstande af \(A\), og hvis vi overvejer, hvad Skrödingers ligning fortæller os om den fælles udvikling af \(S\) og \(S^*\), når \(S\) starter i en af disse, finder vi, at parrets tilstand efter vekselvirkningen er en superposition af egentilstande af \(S\) og \(S^*\). Det er ligegyldigt, hvilken observabel på \(S\) der måles, og det er ligegyldigt, hvilken superposition \(S\) starter ud i; når den føres ind i et måleinstrument for denne observerbare størrelse, og hvis vekselvirkningen er korrekt beskrevet ved Schrödingers ligning, følger det alene af lineariteten af \(U\) i denne ligning, den operatør, der bevirker transformationen fra den tidligere til den senere tilstand af parret, at den fælles tilstand af \(S\) og apparatet efter vekselvirkningen er en superposition af egentilstande for denne observerbare størrelse på det fælles system.

Sæt f.eks. at vi starter \(S^*\) i sin grundtilstand, og \(S\) i tilstanden

Det er en konsekvens af reglerne for opnåelse af det sammensatte systems tilstandsrum, at parrets kombinerede tilstand er

og det følger af det faktum, at \(S^*\) er et måleinstrument for \(A\),og lineariteten af \(U\), at deres kombinerede tilstand efter vekselvirkningen er

\

Dette er imidlertid, er dog ikke i overensstemmelse med den dynamiske regel for kontekster af type 2, for den dynamiske regel for kontekster af type 2 (og hvis der findes sådanne kontekster, er dette en) indebærer, at parrets tilstand efter interaktion enten er

eller

Indeed, indebærer det, at der er en præcis sandsynlighed på \(\frac{1}{2}{2}\) for, at det vil ende i den første, og en sandsynlighed på \(\frac{1}{2}{2}\) for, at det vil ende i den anden.

Vi kan forsøge at genoprette den logiske konsistens ved at opgive den dynamiske regel for sammenhænge af type 2 (eller, hvad der svarer til det samme, ved at benægte, at der findes sådanne sammenhænge), men så har vi problemet med konsistens med erfaringen. Vi ved, hvordan et system ser ud, når det befinder sig i en egentilstand for en given observerbar størrelse, og vi ved ved at se, at måleapparatet efter målingen befinder sig i en egentilstand for den pegende observerbare størrelse. Og derfor ved vi fra starten, at hvis en teori fortæller os noget andet om måleapparaternes tilstande efter målingen, er den forkert, uanset hvad det andet er.

Det er kort sagt måleproblemet i kvantemekanikken; enhver fortolkning af teorien, enhver detaljeret historie om, hvordan verden ser ud i henhold til kvantemekanikken, og især de dele af verden, hvor der foregår målinger, må tage fat på det.

Løse ender

Blandede tilstande er vægtede summer af rene tilstande, og de kan bruges til at repræsentere tilstande i ensembler, hvis komponenter befinder sig i forskellige rene tilstande, eller tilstande i individuelle systemer, som vi kun har delvis viden om. I det første tilfælde afspejler den vægt, der er knyttet til en given ren tilstand, størrelsen af den komponent af ensemblet, der befinder sig i denne tilstand (og dermed den objektive sandsynlighed for, at et vilkårligt medlem af ensemblet befinder sig i denne tilstand); i det andet tilfælde afspejler de den epistemiske sandsynlighed for, at det pågældende system, som tilstanden er tildelt, befinder sig i denne tilstand.

Hvis vi ikke ønsker at miste sondringen mellem rene og blandede tilstande, har vi brug for en måde at repræsentere den vægtede sum af et sæt rene tilstande (tilsvarende af de sandsynlighedsfunktioner, der er forbundet med dem) på, som er forskellig fra at addere de (passende vægtede) vektorer, der repræsenterer dem, og det betyder, at vi enten har brug for en alternativ måde at repræsentere blandede tilstande på eller en ensartet måde at repræsentere både rene og blandede tilstande på, som bevarer sondringen mellem dem.Der findes en slags operatør i Hilbert-rum, en såkaldt tæthedsoperator, som er velegnet til sidstnævnte funktion, og det viser sig ikke at være svært at omformulere alt, hvad der er blevet sagt om tilstandsvektorer, i form af tæthedsoperatorer. Så selv om det er almindeligt at tale som om, at rene tilstande repræsenteres af vektorer, er den officielle regel, at tilstande – både rene og blandede – i kvantemekanikken repræsenteres af tæthedsoperatorer.

Selv om blandede tilstande kan, som jeg sagde, bruges til at repræsentere vores uvidenhed om tilstande af systemer, der faktisk er i en eller anden ren tilstand, og selv om dette har forekommet mange at være en passende måde at fortolke blandinger i klassiske sammenhænge, er der alvorlige hindringer for at anvende det generelt på kvantemekaniske blandinger. Disse er overladt til en detaljeret diskussion i de andre afsnit om kvantemekanik i Encyclopedia.

Alt, hvad der er blevet sagt om observabler, gælder strengt taget kun for det tilfælde, hvor værdierne af observablen udgør et diskret sæt; de matematiske finesser, der er nødvendige for at generalisere det til tilfældet med kontinuerlige observabler, er komplicerede og rejser problemer af mere teknisk karakter. Det er også bedst at overlade disse til en detaljeret diskussion.

Dette skulle være al den indledende forberedelse, man behøver for at nærme sig den filosofiske diskussion af kvantemekanikken, men det er kun et første skridt. Jo mere man lærer om forbindelserne mellem vektorer og operatører i Hilbert-rummet, om hvordan rummene for simple systemer hænger sammen med rummene for komplekse systemer og om den ligning, der beskriver, hvordan tilstandsvektorer bevæger sig gennem rummet, jo bedre vil man kunne forstå både arten og vanskeligheden af de problemer, der er forbundet med teorien. Det sjove ved kvantemekanikken, det, der gør den uendeligt fascinerende for en filosof, er, at jo mere man lærer, jo sværere bliver problemerne.