ProblemetRediger

Poincaré-forestillingen, foreslået af den franske matematiker Henri Poincaré i 1904, var et af de centrale problemer i topologien. Enhver løkke på en 3-sfære – som eksemplificeret ved mængden af punkter i en afstand på 1 fra oprindelsen i det firedimensionelle euklidiske rum – kan sammentrække sig til et punkt. Poincarés formodning hævder, at enhver lukket tredimensional mangfoldighed, hvor enhver løkke kan sammentrækkes til et punkt, topologisk set er en 3-sfære. Det analoge resultat har været kendt for at være sandt i dimensioner større end eller lig med fem siden 1960, som i Stephen Smales arbejde. Det firedimensionelle tilfælde var længere tid uopnåeligt og blev endelig løst i 1982 af Michael Freedman. Men tilfældet med tre-manifolds viste sig at være det sværeste af dem alle. Groft sagt skyldes det, at der ved topologisk manipulation af en tre-manifold er for få dimensioner til at flytte “problematiske regioner” af vejen uden at gribe ind i noget andet. Det mest grundlæggende bidrag til det tredimensionelle tilfælde var blevet produceret af Richard S. Hamilton. Perelmans rolle var at færdiggøre Hamiltons program.

Perelmans bevisRediger

I november 2002 postede Perelman det første af tre preprints til arXiv, hvori han hævdede at have skitseret et bevis for geometriseringsforestillingen, som Poincaré-forestillingen er et særligt tilfælde af. Dette blev fulgt op af de to andre preprints i 2003.

Perelman modificerede Richard S. Hamiltons program for et bevis for formodningen. Den centrale idé er begrebet Ricci-strømmen. Hamiltons grundlæggende idé er at formulere en “dynamisk proces”, hvor en given tre-manifold bliver geometrisk forvrænget, idet forvrængningsprocessen styres af en differentialligning analogt med varmeligningen. Varmeligningen (som langt tidligere motiverede Riemann til at opstille sin Riemann-hypotese om zeta-funktionens nuller) beskriver opførslen af skalare størrelser som f.eks. temperaturen. Den sikrer, at koncentrationer af forhøjede temperaturer vil sprede sig, indtil der opnås en ensartet temperatur i hele et objekt. På samme måde beskriver Ricci-strømmen opførslen af en tantalmængde, Ricci-krumningstænderen. Hamiltons håb var, at under Ricci-strømmen vil koncentrationer af stor krumning sprede sig ud, indtil der opnås en ensartet krumning over hele den tredelte mangfoldighed. Hvis det er tilfældet, og hvis man starter med en hvilken som helst trefold og lader Ricci-strømmen opstå, bør man i princippet til sidst opnå en slags “normalform”. Ifølge William Thurston må denne normalform antage en af et lille antal muligheder, der hver især har en anden form for geometri, kaldet Thurston-modelgeometrier.

Det var imidlertid en udbredt forventning, at processen ville blive hæmmet af udviklingen af “singulariteter”. I 1990’erne gjorde Hamilton fremskridt med hensyn til at forstå de mulige typer af singulariteter, der kan forekomme, men var ikke i stand til at give en omfattende beskrivelse. I Perelmans artikler blev der skitseret en løsning. Ifølge Perelman ligner enhver singularitet enten en cylinder, der kollapser til sin akse, eller en kugle, der kollapser til sit centrum. Med denne forståelse var han i stand til at konstruere en modifikation af standard Ricci-flowet, kaldet Ricci-flow med kirurgi, som systematisk kan fjerne singulære områder, efterhånden som de udvikler sig, på en kontrolleret måde. Ideen om Ricci-flow med kirurgi havde været til stede siden en artikel fra 1993 af Hamilton, som i 1997 med succes havde gennemført den i forbindelse med højere dimensionelle rum under visse begrænsede geometriske betingelser. Perelmans kirurgiprocedure lignede i store træk Hamiltons, men var påfaldende forskellig i sine tekniske aspekter.

Perelman viste, at enhver singularitet, der udvikler sig i en endelig tid, i det væsentlige er en “afklemning” langs visse sfærer, der svarer til primdekompositionen af 3-manifoldet. Desuden er enhver “uendelig tid” singulariteter resulterer fra visse sammenfaldende stykker af JSJ-dekompositionen. Perelmans arbejde beviser denne påstand og beviser dermed geometriseringsformodningen.

Indholdet af de tre artikler er opsummeret nedenfor:

• Det første præprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, giver mange nye teknikker i studiet af Ricci flow, hvis vigtigste resultat er en sætning, der giver en kvantitativ karakterisering af regioner med høj krumning i flowet.
• Det andet præprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, retter nogle ukorrekte udsagn fra det første papir og udfylder nogle detaljer, og bruger hovedresultatet fra det første papir til at foreskrive kirurgiproceduren. Anden halvdel af papiret er afsat til en analyse af Ricci-strømme, der eksisterer i uendelig tid.
• Det tredje fortryk, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, giver en genvej til beviset for Poincaré-konjekturen, som undgår argumenterne i anden halvdel af det andet fortryk. Den viser, at på ethvert rum, der opfylder antagelserne i Poincaré-forestillingen, eksisterer Ricci-strømmen med kirurgi kun i en begrænset tid, således at analysen af Ricci-strømmen i uendelig tid er irrelevant.

Tobias Colding og William Minicozzi II har leveret et helt alternativt argument til Perelmans tredje preprint. Deres argument, givet forudsætningen om nogle sofistikerede geometriske målteoretiske argumenter som udviklet i 1980’erne, er særlig simpelt.

VerificationEdit

Perelmans preprints vandt hurtigt opmærksomhed i det matematiske samfund, selv om de i vid udstrækning blev opfattet som svære at forstå, da de var skrevet noget kortfattet. I modsætning til den sædvanlige stil i akademiske matematiske publikationer var mange tekniske detaljer blevet udeladt. Det stod hurtigt klart, at Perelman havde ydet vigtige bidrag til grundlaget for Ricci-strømningen, selv om det ikke umiddelbart stod klart for det matematiske samfund, at disse bidrag var tilstrækkelige til at bevise geometriseringsformodningen eller Poincaréformodningen.

I april 2003 besøgte Perelman Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University og New York University for at holde korte foredragsrækker om sit arbejde og for at afklare nogle detaljer for eksperter på de relevante områder.

I juni 2003 lagde Bruce Kleiner og John Lott, begge dengang fra University of Michigan, noter ud på Lott’s hjemmeside, som afsnit for afsnit udfyldte mange af detaljerne i Perelmans første preprint. I september 2004 blev deres noter opdateret for at inkludere Perelmans andet preprint. Efter yderligere revisioner og rettelser indsendte de en version til arXiv den 25. maj 2006, hvoraf en ændret version blev offentliggjort i det akademiske tidsskrift Geometry & Topology i 2008. På den internationale kongres for matematikere i 2006 sagde Lott: “Det har taget os noget tid at undersøge Perelmans arbejde. Dette skyldes dels originaliteten i Perelmans arbejde og dels den tekniske sofistikering af hans argumenter. Alt tyder på, at hans argumenter er korrekte.” I indledningen til deres artikel forklarede Kleiner og Lott

Perelmans beviser er kortfattede og til tider skitseagtige. Formålet med disse noter er at give de detaljer, der mangler i … Hvad angår beviserne, indeholder nogle ukorrekte udsagn og ufuldstændige argumenter, som vi har forsøgt at påpege over for læseren. (Nogle af fejlene i blev rettet i .) Vi fandt ingen alvorlige problemer, dvs. problemer, der ikke kan rettes ved hjælp af de metoder, som Perelman introducerede.

I juni 2006 offentliggjorde Asian Journal of Mathematics en artikel af Zhu Xiping fra Sun Yat-sen University i Kina og Huai-Dong Cao fra Lehigh University i Pennsylvania, der giver en fuldstændig beskrivelse af Perelmans bevis for Poincaré- og geometriseringsformodningerne. I modsætning til Kleiner og Lott’s artikel, der var struktureret som en samling af annotationer til Perelmans artikler, var Cao og Zhu’s artikel direkte rettet mod at forklare beviserne for Poincaré-konjekturen og geometriserings-konjekturen. I deres indledning forklarer de

I denne artikel vil vi præsentere Hamilton-Perelman-teorien om Ricci-flow. På grundlag af den vil vi give den første skriftlige redegørelse for et fuldstændigt bevis for Poincaré-forestillingen og Thurstons geometriseringsforestilling. Selv om det samlede arbejde er en akkumuleret indsats fra mange geometriske analytikere, er de største bidragydere utvivlsomt Hamilton og Perelman. I dette papir vil vi give fuldstændige og detaljerede beviser især for Perelmans arbejde i hans andet papir, hvor mange nøgleidéer i beviserne er skitseret eller skitseret, men fuldstændige detaljer i beviserne mangler ofte. Som vi tidligere har påpeget, er vi nødt til at erstatte flere af Perelmans nøgleargumenter med nye tilgange baseret på vores undersøgelse, fordi vi ikke var i stand til at forstå disse originale argumenter fra Perelman, som er afgørende for færdiggørelsen af geometriseringsprogrammet.

I juli 2006 lagde John Morgan fra Columbia University og Gang Tian fra Massachusetts Institute of Technology et papir på arXiv, hvori de gav en detaljeret præsentation af Perelmans bevis for Poincaré-konjekturen. I modsætning til Kleiner-Lott og Cao-Zhu’s redegørelser omhandler Morgan og Tian’s også Perelman’s tredje artikel. Den 24. august 2006 holdt Morgan et foredrag på ICM i Madrid om Poincaré-forestillingen, hvor han erklærede, at Perelmans arbejde var blevet “grundigt kontrolleret”. I 2008 udgav Morgan og Tian et papir, som dækkede detaljerne i beviset for geometriseringsformodningen. Morgans og Tians to artikler er blevet udgivet i bogform af Clay Mathematics Institute.

Revisioner af verifikationerneRediger

Alle tre af ovenstående redegørelser er blevet revideret efter offentliggørelsen. Kleiner-Lott og Morgan-Tians redegørelser viste sig at have fejl (som ikke påvirkede det store omfang), mens Cao-Zhu’s redegørelse tiltrak sig kritik for deres formulering og for en tilskrivningsfejl.

Efter offentliggørelsen er Kleiner og Lott’s artikel efterfølgende blevet revideret to gange for rettelser, bl.a. for en ukorrekt angivelse af Hamiltons vigtige “compactness theorem” for Ricci-flow. Den seneste revision af deres artikel fandt sted i 2013. I 2015 påpegede Abbas Bahri en fejl i Morgan og Tians redegørelse, som senere blev rettet af Morgan og Tian og henført til en grundlæggende regnefejl.

Cao og Zhus artikel undergik kritik fra dele af det matematiske samfund for deres ordvalg, som nogle iagttagere tolkede som at de påberåbte sig for meget kredit for sig selv. Brugen af ordet “application” i deres titel “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” og sætningen “This proof should be considered as the croning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” i abstractet blev især udpeger til kritik. Da Perelman blev spurgt om dette spørgsmål, sagde han, at Cao og Zhu ikke havde bidraget med noget originalt, men blot havde omarbejdet hans bevis, fordi de “ikke helt forstod argumentet”. Desuden var en af siderne i Cao og Zhu’s artikel stort set identisk med en af siderne i Kleiner og Lott’s indlæg fra 2003. I et offentliggjort erratum tilskrev Cao og Zhu dette en forglemmelse, idet de sagde, at de i 2003 havde nedskrevet noter fra den oprindelige version af Kleiner og Lott’s noter, og at de i deres opskrivning i 2006 ikke havde været klar over den korrekte kilde til noterne. De sendte en revideret version til arXiv med revisioner i deres formulering og på den relevante side i beviset.

Aktuelle synspunkterRediger

I 2020 er der stadig nogle matematikere, der, selv om det er alment anerkendt, at Perelman har gjort enorme fremskridt i teorien om Ricci-flow, ikke accepterer, at Poincaré- og geometriseringsforestillingerne er blevet bevist. For disse observatører befinder de problematiske dele af beviset sig i anden halvdel af Perelmans andet præprint. F.eks. sagde Fields-medaljevinder Shing-Tung Yau i 2019, at

Og selv om det måske er kætteri for mig at sige dette, er jeg ikke sikker på, at beviset er helt naglet fast. Jeg er overbevist om, som jeg har sagt mange gange før, at Perelman har udført et genialt arbejde vedrørende dannelsen og strukturen af singulariteter i tredimensionelle rum – et arbejde, der virkelig var værdigt til den Fields Medalje, som han fik tildelt. Herom er jeg ikke i tvivl Sagen er den, at der er meget få eksperter inden for Ricci-flow, og jeg har endnu ikke mødt nogen, der hævder at have en fuldstændig forståelse af den sidste, vanskeligste del af Perelmans bevis Så vidt jeg ved, har ingen taget nogle af de teknikker, som Perelman introducerede mod slutningen af sin afhandling, og med succes brugt dem til at løse et andet væsentligt problem. Dette tyder for mig på, at andre matematikere heller ikke endnu behersker dette arbejde og dets metodikker fuldt ud.

Men da Millennium-prisen blev tildelt Perelman for “opløsningen af Poincaré-konjekturen” i 2010, sagde Fields medaljevinder Simon Donaldson i en af lovprisningerne til prisen, at

Fra det tidspunkt, hvor der udkom preprints vedrørende Poincaré- og Geometrisationskonjekturerne, har matematikere over hele verden i fællesskab givet udtryk for deres påskønnelse, ærefrygt og forundring over hans ekstraordinære præstation, og jeg tror, at jeg her taler som repræsentant for hele vores intellektuelle samfund. Den løser et enestående, århundrede gammelt problem.