Hvad er ingeniørmæssig bjælketeori?

Et strukturelt element eller element, der er udsat for kræfter og koblinger langs elementets længdeakse. Elementet spænder typisk mellem en eller flere understøtninger, og dets design er generelt styret af bøjningsmomenter.

Euler-Bernoulli-bjælketeori

Euler-Bernoulli-ligningen beskriver forholdet mellem den påførte belastning og den resulterende udbøjning af bjælken og er matematisk vist som:

Hvor w er den fordelte belastning eller kraft pr. længdeenhed, der virker i samme retning som y, og bjælkens udbøjning Δ(x) ved en given position x. E er elasticitetsmodulet for det pågældende materiale, og I er det andet arealmoment beregnet i forhold til den akse, der går gennem tværsnittets midtpunkt og er vinkelret på den påførte belastning. Hvis EI eller bøjningsstivheden ikke varierer langs bjælken, forenkles ligningen til:

Når udbøjningen som følge af en given belastning er bestemt, kan spændingerne i bjælken beregnes ved hjælp af følgende udtryk:

Bøjningsmomentet i bjælken:

Skubningskraften i bjælken:

Støtteforbindelser og reaktioner

Der er fire forskellige typer af forbindelser, som man almindeligvis støder på, når man har med bjælker at gøre, og hver af dem bestemmer den type belastning, som støtten kan modstå, samt den samlede bæreevne ikke kun for det pågældende element, men også for det system, som elementet er en del af.

Rullestøtter: kan frit rotere og translateres langs den overflade, som rullen hviler på, og er derfor ikke i stand til at modstå sidekræfter. Sådanne understøtninger er udsat for en enkeltstående reaktionskraft, der virker vinkelret på og væk fra overfladen.

Spindede understøtninger: tillader elementet eller bjælken at rotere (undertiden kun i én retning), men ikke at translatere i nogen retning, dvs. de kan modstå både lodrette og vandrette kræfter, men ikke bøjningsmomenter.

Fikserede understøtninger: holder mod både rotation og translation og modstår både lodrette og vandrette kræfter samt bøjningsmomenter.

Enkle understøtninger: kan frit rotere og translateres langs den flade, som de hviler på, i alle retninger, men vinkelret på og væk fra fladen. Simple understøtninger adskiller sig fra rullestøtter ved, at de ikke kan modstå sidelaster af nogen størrelse.

Typer af bjælker

Enkel støttebjælke: frit understøttet i hver ende elementet er frit roterende i endeoplagspunkterne og har ingen modstand mod bøjningsmomenter. Bjælkens endeoplag er i stand til at udøve kræfter på bjælken, men vil rotere, når elementet bøjes under eventuelle belastninger.

Fikseret bjælke: fastholdt i hver ende af elementet er endepunkterne begrænset i rotation og bevægelse i både lodret og vandret retning.

Kantbjælke: et element, der kun er fastgjort i den ene ende, mens den anden ende er fri til at rotere og bevæge sig frit i både lodret og vandret retning.

Overhængende: en simpel bjælke, der strækker sig ud over sine understøtninger i den ene eller begge ender.

Kontinuerlig: en bjælke, der strækker sig over mere end to understøtninger.

Nøjagtighed af ingeniørens bjælketeori

På grund af antagelserne er en generel tommelfingerregel, at for de fleste konfigurationer er ligningerne for bøjningsspænding og tværgående forskydningsspænding nøjagtige med en nøjagtighed på ca. 3 % for bjælker med et længde/højde-forhold større end 4. Den konservative karakter af konstruktionsdesign (belastningsfaktorer) kompenserer i de fleste tilfælde for disse unøjagtigheder.Det er også vigtigt at forstå og tage hensyn til den type materiale(r), som bjælken består af, den måde, hvorpå bjælken deformeres, bjælkens geometri, herunder tværsnitsarealet og den interne ligevægt, der er til stede.

Antagelser og begrænsninger

• Bjælkens tværsnit anses for at være lille i forhold til dens længde, hvilket betyder, at bjælken er lang og tynd.
• Lasterne virker på tværs af længdeaksen og går gennem forskydningscentret, hvilket eliminerer enhver torsion eller vridning.
• Bjælkens egenvægt er blevet ignoreret og bør tages i betragtning i praksis.
• Bjælkens materiale er homogent og isotropisk og har et konstant Young-modul i alle retninger i både tryk og træk.
• Det centroideale plan eller den neutrale flade er udsat for nul aksialspænding og undergår ikke nogen længdeændring.
• Svaret på belastning er en endimensional spænding i bøjningsretningen.
• Defleksioner antages at være meget små i forhold til bjælkens samlede længde.
• Tværsnittet forbliver plant og vinkelret på længdeaksen under bøjning.
• Bjælken er oprindeligt lige, og enhver afbøjning af bjælken følger en cirkelbue, hvor krumningsradius anses for at forblive stor i forhold til tværsnittets dimension.

Kurvede bjælker og buer

Mens udformningen af kurvede bjælker er identisk med den af lige bjælker, når tværsnittets dimensioner er små i forhold til krumningsradius, er den primære forskel mellem kurvede bjælker og buer, at krumningen er blevet forøget til et punkt, hvor de aksiale kræfter bliver betydelige i buer.

En note om bøjningsmomenter

I konstruktionsteknikken er det positive moment trukket på spændingssiden af elementet, hvilket gør det lettere at håndtere bjælker og rammer. Da momenterne tegnes i samme retning, som elementet teoretisk set ville bøje sig, når det belastes, er det lettere at visualisere, hvad der sker. StructX har vedtaget denne måde at tegne bøjningsmomenter på overalt.

Et udvalg af bjælkeligninger sammen med relevante tekniske regnemaskiner kan findes her.