Gæstfrihed på Hilbert-hotellet
I begyndelsen af det 20. århundrede var universitetet i Göttingen et af de førende forskningscentre for matematik i verden. Matematikeren David Hilbert var en veletableret professor der, og i vinterhalvåret 1924-25 holdt han en række foredrag om det uendelige i matematik, fysik og astronomi. (Disse og andre foredrag af Hilbert er nu udgivet i bogform af Springer-Verlag. Bogen er tilgængelig på IAS-biblioteket i oversættelse og i den originale tyske udgave). I en af disse forelæsninger brugte han et eksempel til at forklare den afgørende forskel mellem endelige og uendelige mængder: På et hotel med et endeligt antal værelser er der ikke plads til nye gæster, hvis alle værelser er optaget. Men i et hotel med uendeligt mange værelser er dette ikke noget problem: hvis alle værelser er optaget, og en ny gæst ankommer, skal man blot flytte hver gammel gæst et værelse over, så det første værelse bliver ledigt til den nyankomne gæst. Et lignende argument giver os mulighed for at imødekomme ethvert endeligt antal og endda uendeligt mange nyankomne gæster.
George Gamow (fra det berømte Alpher-Bethe-Gamow-papir inden for fysisk kosmologi) var postdoc på universitetet i Göttingen et par år efter disse forelæsninger og lærte sandsynligvis Hilberts eksempel på det uendelige hotel at kende der. Han gjorde det populært i sin populærvidenskabelige bog fra 1947 med titlen One Two Three… Infinity: Facts and Speculations of Science (tilgængelig på biblioteket på Princeton University).
Lad os komme tilbage til Hilberts hotel. For at gøre tingene pæne, lad os sige, at hotellets uendeligt mange værelser er nummereret 1, 2, 3, 4, 5, … … En aften er de alle optaget, men en ny gæst ankommer. Som vi sagde før, flytter vi simpelthen gæsten på værelse 1 over på værelse 2, gæsten på værelse 2 over på værelse 3, gæsten på værelse 3 over på værelse 4 og generelt gæsten på værelse n over på værelse n + 1, hvorved der skabes en ledig plads på værelse 1 til den nye gæst, men ingen af de oprindelige gæster bliver hjemløse.
Sæt nu, at der ankommer tyve nye gæster i stedet for blot én. Det trick, der blev brugt før, virker lige så godt: flyt gæsten i værelse 1 til værelse 21, gæsten i værelse 2 til værelse 22 og generelt gæsten i værelse n til værelse n + 20. Dette vil efterlade tyve værelser ledige og klar til de tyve nye gæster.
Men hvad nu, hvis der ankommer uendeligt mange nye gæster om bord på en uendelig bus? Vi kan ændre det tidligere argument, så det stadig virker i denne situation: Vi kan fordele de gæster, der allerede er på hotellet, således at de kun optager hvert andet værelse. Matematisk set skal gæsten på værelse n flyttes til værelse 2n, så alle de lige værelser er optaget. Dette efterlader alle andre værelser (uendeligt mange!) ledige og klar til at huse de (uendeligt mange!) gæster, der ankommer med bussen. Den person, der sidder på plads nummer n i bussen, skal flytte ind i det niende ulige nummererede rum, som er rum nummer 2n – 1.
Hvad sker der, hvis nioghalvfems uendelige busser ankommer? Du skal blot flytte de oprindelige hotelgæster til værelserne 100, 200, 300 osv., passagererne i den første bus til værelserne 1, 101, 201 osv., passagererne i den anden bus til værelserne 2, 102, 202 osv. osv. osv. osv. og så videre for resten af busserne. På denne måde vil alle hotellets værelser være optaget, men ingen gæster vil stå uden et værelse. Hvis passagererne i busserne selv fik nummer 1, 2, 3, 4, 4, 5, . . . (og lad os ikke skelne og også kalde hotellets oprindelige gæster for passagerer – vi kan se det som at flytte alle de oprindelige gæster ud af hotellet og over i en dekorativ bus parkeret lige uden for hotellet, som vi kan kalde bus nummer 0), så vil vi se, at de første hundrede værelser på hotellet er fyldt op med passagerer nummer 1, de andet hundrede værelser på hotellet er fyldt op med passagerer nummer 2 osv.