Indledning

Universets dynamik i stor skala styres af den generelle kosmiske ekspansion og de massive objekters gravitationsfelt. Man mener ikke, at magnetiske felter spiller nogen større rolle i førstnævnte . Man mener, at magnetfelter ikke, eller i det mindste ikke i nævneværdig styrke, har været til stede ved Big Bang og i den efterfølgende inflationsperiode. Hvis de overhovedet har været til stede, så i form af de falske magnetiske monopoler. De bliver vigtige på mindre skalaer. På skalaer med kompakte magnetiserede objekter begynder de at blive ikke-negligible og bliver for en række processer endog den dominerende kraft.

Magnetiske felter er bundet til elektrisk strøm og kan således, i modsætning til elektriske felter, hvis kilder er elementarladninger og ladningsforskelle, frembringes af processer, der forårsager elektriske strømme. Strømme indebærer ikke-ambipolær transport af ladninger. Spørgsmålet om, hvor stærke magnetfelter kan blive, er således reduceret til spørgsmålet om, hvor stærke eventuelle strømme kan blive. I den klassiske elektrodynamik indebærer dette ud fra Ampères lov for stationære magnetfelter, at

hvis man begrænser sig til ladningstransport alene og antager umagnetiske medier med (for enkelhedens skyld enkeltvis ladede) ion- og elektrontætheder og bulkhastigheder på henholdsvis Ni,e, Vi,e. Ellers ville man tilføje et magnetiseringsudtryk M, som afhænger af stoffets egenskaber. Bestemmelse af M kræver en kvantemekanisk behandling inden for rammerne af faststoffysikken.

Antager man, uden begrænsning, kvasineutralitet Ne ≈ Ni = N, er det kun hastighedsforskelle, der bidrager. Da elektroner er betydeligt mere mobile end ioner, kan strømmen med rimelighed tilnærmes ved elektronstrømmen J ≈ – eNVe, en betingelse, der strengt taget gælder i ionreferencerammen. Da hastighederne er begrænset af lysets hastighed c, er magnetfeltet klassisk begrænset af

hvilket tyder på, at magnetfeltet vokser med L og tætheden N. Her er Ncc angivet i enheder af elektroner pr. cm-3, og Lkm er længdeskalaen over en strømfilament i enheder af km. I skorpen af en neutronstjerne har vi f.eks. Lkm ~ 1. Hvis stort set alle elektroner i skorpen ville deltage i strømmen, havde vi Ncc × ~ 1030. Derfor kunne magnetfeltstyrken gå op til B ~ 1028 Gauss, et enormt tal sammenlignet med det maksimale B ~ 1015 – 1016 Gauss, der er observeret i magnetarer.

Dette grove skøn skal kommenteres for at undgå misforståelser. Magnetiske felter menes fortrinsvis at blive genereret af dynamoaktioner. Sådanne handlinger er formodentlig ikke på spil i hvide dværge, neutronstjerner, magnetarer eller andre kompakte objekter. Felterne produceres i deres differentielt roterende forfædre. Tag Solen som eksempel med dynamovirkning i konvektionszonen med en tykkelse L☉ ~ 2 × 105 km og en gennemsnitlig tæthed N☉cc ~ 8 × 1023. Hvis man bruger den samlede bredde af konvektionszonen, overvurderer man groft den aktuelle filamentbredde. En absolut øvre grænse ville være L☉km ≲ 2 × 104. Det er klart, at hastighederne også er meget mindre end c. Derfor giver brugen af c en ekstrem absolut øvre grænse for magnetfeltet B < 1021 T. De forholdsvis stærke felter i neutronstjerner opstår efterfølgende ved det hurtige kollaps af den magnetiserede tunge stamstjerne, der ikke har haft tid inden for kollapstiden til at sprede den magnetiske energi, som bliver komprimeret i det lille neutronstjernevolumen. Kompressionsfaktoren er i størrelsesordenen ~ 1012, hvilket giver grænsefelter på B ≲ 1035 Gauss. Det klassiske elektrodynamiske skøn fejler klart i forhold til at give en øvre grænse for magnetfeltstyrken, der ville passe til de observerede beviser.

Andre ikke mindre alvorlige afvigelser opnås ved at sætte neutronstjernens magnetfeltenergi lig med den samlede tilgængelige rotationsenergi både i progenitoren eller i neutronstjernen under antagelse af equipartition af rotations- og magnetisk energi – tydeligvis en knapt så berettiget antagelse i begge tilfælde. Den magnetiske energi kan ikke blive større end den oprindeligt tilgængelige dynamiske energi i dens årsag, som den kun er en brøkdel af. Det er formentlig principielt tvivlsomt, om magnetfelter nogensinde kunne være blevet frembragt af en klassisk mekanisme, der er væsentligt stærkere end den, der er observeret i neutronstjerner (bortset fra en kort ~10 s lang dynamo-forstærkningsfase efter sammenbruddet, der i bedste fald giver en anden faktor på ~10-100 ) og, ved yderligere koncentration af magnetisk energi i mindre volumener, bundtning af magnetiske fluxrør, som det antages at forekomme i magnetarer. Hvis der overhovedet blev genereret meget stærkere felter, må det være sket på tidspunkter og i objekter, hvor magnetfelter kunne være blevet produceret af andre processer end klassiske dynamoer. Man er således nødt til at gå ind i kvanteelektrodynamikken henholdsvis kvantefeltteorien for at kunne udlede noget om de vigtigste fysiske begrænsninger for frembringelsen af eventuelle magnetfelter. Den følgende undersøgelse er mindre motiveret af observationer end af dette fundamentale teoretiske spørgsmål.

Fluxelementer

Kvantemekanikken giver mulighed for at opnå en første grænse for magnetfeltet ud fra løsningen af Schrödingers ligning, oprindeligt fundet af Landau i 1930, for en elektron, der kredser i et homogent magnetfelt. Den fysiske fortolkning af denne løsning blev givet meget senere i Aharonov-Bohm-teorien . Ud fra kravet om, at den magnetiske flux Φ i et felt B, der er indesluttet i en elektrons gyrationsbane, skal være enkeltværdi, udledte Aharonov og Bohm, at Φ = ν Φ0 er kvantiseret med fluxelementet Φ0 = 2πħ/e, e er elementarladningen, og ν = 1, 2, …. Da ν = Φ/Φ0 er antallet af elementære fluxelementer, der bæres af feltet, og B = Φ/πl2, definerer man ved at sætte ν = 1 en mindste magnetisk længde

Denne længde, som er gyroradius for en elektron i det lavest liggende Landau-energiniveau, kan fortolkes som radius af en magnetfeltlinje i magnetfeltet B. Feltlinjerne bliver smallere, jo stærkere magnetfeltet er. På den anden side giver omskrivning af ligning (3) et udtryk for magnetfeltet

, hvorfra man for en given korteste “kritiske” længde lB ≡ lc i princippet kan estimere det maksimale magnetfelt Bc, der svarer til lc. Hvis man f.eks. sætter lc = 2πħ/mc lig med elektronens Compton-længde λ0 = 2πħ/mc, får man den kritiske pulsar (neutronstjerne) magnetfeltstyrke Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss. Det er af stor interesse, at omtrent denne feltstyrke faktisk blev udledt af observationen af den fundamentale (ν = 1) elektroncyklotronharmoniske røntgenlinje, der blev opdaget fra HerX1-pulsaren , ca. to årtier efter Aharonov og Bohms og et halvt århundrede efter Landaus teori.

Generalisering

Brug af Compton-bølgelængden relaterer den begrænsende feltstyrke i neutronstjerner til kvanteelektrodynamikken. Det rejser spørgsmålet om en mere præcis teoretisk bestemmelse af den kvanteelektrodynamiske begrænsende feltstyrke, der tager højde for relativistiske effekter. Det rejser også spørgsmålet, om henvisning til andre fundamentale længdeskalaer kan give andre principielle grænser for magnetfelter, hvis kun sådanne felter kan genereres på en eller anden måde, dvs. hvis elektriske strømme af tilstrækkelig styrke kunne flyde under forskellige betingelser, som f.eks. i kvantekromodynamikken.

Virkelig formelt set, bortset fra medtagelse af relativistiske effekter, giver ligning (4) en modelligning for et begrænsende felt i afhængighed af en given fundamental længdeskala lc. Under denne forenklende antagelse skalerer det kritiske magnetfelt Bc simpelthen med det omvendte kvadrat af den tilsvarende fundamentale længde. Formelt set er dette grafisk vist i figur 1 under antagelsen om gyldigheden af Aharonov-Bohm-skalaen ved højere energier.

med α = α/2π den reducerede finstrukturkonstant. Denne formel er gyldig for B < Bq. Den tyder på et fald i det laveste Landau-energiniveau ved stigende felter, hvilket naturligvis har voldsomme ikke-fysiske konsekvenser for astrofysiske objekter . Der skal således tages hensyn til Feynman-diagrammer, der omfatter højere ordens selvtiltrækning af elektroner, især ved store felter. I felter B ≫ Bq, der væsentligt overstiger Bq, bliver elektronerne relativistisk massive, og det laveste Landau-niveau stiger, efter at have passeret et minimum, som

Deraf følger, at den laveste Landau-niveau-energi kun fordobles ved magnetfelter i størrelsesordenen B ~ 1028 T (~ 1032 Gauss), langt over alle neutronstjerners eller magnetarers overflademagnetfelter. Relativistiske selv-energikorrektioner, der forårsager magnetfeltsnedbrydning, vil således kun komme i spil ved disse energier, som kan være den ultimative grænse for magnetfeltstyrker.

Det er bemærkelsesværdigt, at denne grænse omtrent falder sammen med de bedste nyere eksperimentelle bestemmelser af en øvre grænse for elektronradius. Under denne skala bør yderligere virkninger træde ind, som hovedsageligt hæmmer enhver yderligere forøgelse af magnetfeltstyrker eller endog eksistensen af magnetfelter. Det ser således ud til, at op til denne skala er den Aharonov-Bohm-skala, som figur 1 er baseret på, ikke helt uberettiget. Dette er yderst interessant også ud fra det synspunkt, at både den elektrosvage og den stærke vekselvirkningsskala er i det tilladte område, simpelthen fordi elektronerne bevarer deres natur på hele denne skala. Det er kun det øde område af energier henholdsvis skalaer, som er udelukket. Det omfatter især GUT-området for grand unification samt kvantetyngdekraften, områder, som kun har spillet en rolle i det meget tidlige univers. Eventuelle rudimentære magnetfelter fra den tid er blevet fortyndet af inflation og kosmologisk ekspansion til lave værdier, der kun er placeret i bunden af figur 1.

Diskussion og konklusioner

Medmindre magnetiske monopoler nogensinde har eksisteret og overlevet i universet, må magnetfelter til enhver tid være blevet produceret via generering af elektriske strømme. Felter genereret i det tidlige univers er efterfølgende blevet fortyndet til nutidens lave storskala værdier som diskuteret andetsteds . De kan have været stærke i begyndelsen, og i så fald er deres styrke også underlagt en begrænsning. Men alle rimelige styrker, der er vurderet ud fra dynamo og andre modeller i klassiske og kromodynamiske teorier, når højst sandsynligt ikke op til nogen af de ovennævnte kvanteelektrodynamiske grænser. Man behøver formodentlig ikke at kræve yderligere kromodynamiske begrænsninger. Denne påstand kan være baseret på den rolle, som elektroner spiller i strømgenerering, som er grundlaget for enhver storskala magnetfeltproduktion. Elektroner og deres spins er også ansvarlige for magnetismen i faststof. Man mener stadig, at elektroner ikke har nogen struktur. Under alle omstændigheder vil strømme på skalaer “inde i” en elektron, dvs. under den fiktive elektronradius re, enten miste enhver betydning eller slet ikke eksistere, og derfor vil begrebet magnetfelt sandsynligvis ikke længere give megen mening. Man kan således tro, at den øvre kvanteelektrodynamiske grænse sætter en absolut grænse for alle realistiske magnetfeltstyrker.

Anvendelsen af Aharonov-Bohm-skalaen i figur 1 på magnetfelter i universet synes at give en rimelig idé om de forventede absolutte begrænsninger for magnetfeltstyrker på kvanteelektrodynamiske skalaer. Det er klart, at vakuumet ændrer karakter på korte skalaer og ved høje energier, da fotoner bliver tunge ved at skifte til elektrosvage bosoner, og kvarker kommer i spil i materien. Elektroner forbliver de samme ned til mindst re ~ 10-22 m, som er den nuværende øvre grænse for elektronradius . Dette lægger op til at skrive det kritiske magnetfelt ligning (4) som

hvor lc ≥ l0, og l0 ≳ re er den relevante minimumslængde, over hvilken magnetfelter giver mening. I figur 1 er denne opførsel angivet som den stiplede sorte kurve, der afviger fra diagonalen. Alligevel er stabiliteten af vakuumet ikke så klar som i det kvanteelektrodynamiske område i tilstedeværelsen af de superstærke magnetfelter i det elektrosvage og kromodynamiske område. Problemet er stadig, at magnetfelter må genereres enten på disse små skalaer eller på meget større elektrodynamiske skalaer, hvorfra de kollapser ned til disse små skalaer.

Med hensyn til generering af magnetfelter før kollaps ved de generelt accepterede dynamo- eller batterieeffekter er magnetfeltstyrker strengt begrænset af de tilgængelige dynamiske energier, som ligger langt under enhver kvanteelektrodynamisk grænse. Man kan hævde, at så længe skalaen for elektronradius ikke nås under kollapset, giver den kvanteelektrodynamiske skalering en rimelig absolut begrænsning for enhver mulig magnetfeltstyrke. Neutronstjerner og magnetarer har skalaer, der er overdrevent store end elektronskalaen. Tungere objekter kunne ved at mindske deres skala have betydeligt stærkere felter, men det tilladte område er indsnævret af den betingelse, at sådanne objekter let bliver til sorte huller, når de kollapser, som i henhold til det berømte “no-hair”-teorem ikke har nogen magnetfelter. Det vides ikke, hvad der ville ske med feltet ved at krydse horisonten, for den eksterne observatør ville ikke få nogen information om feltet. Teoremet om ingen hår tyder på, at feltet simpelthen bliver suget ind i hullet og forsvinder sammen med den kollapserende masse. Almindelige ræsonnementer, der antager opretholdelse af den indefrosne tilstand, antyder derefter, at feltet inden for horisonten skulle stige yderligere i det formodentlig fortsatte gravitationskollaps.

De tilgængelige stærke felter, der kommer tættere på de kvanteelektrodynamiske grænser, findes i neutronstjerner og magnetarer. Indtil videre er der ikke blevet påvist positive magnetfelter i fremmede stjerner. Det er endda blevet vist, at sådanne felter, der muligvis er til stede i superledende fremmede stjerner, ville rotationsmæssigt henfalde inden for tider kortere end ~ 20 Myrs. I magnetarer er tilstedeværelsen af felter, der er stærkere end Bns = Bq, nu velforstået som følge af skorpeeffekter, der forårsager lokal koncentration af magnetfelter og udstrakte magnetiske sløjfer, der har en vis lighed med de velkendte solpletter . Effekter på stof i superstærke felter blev først undersøgt i Ruderman og er blevet gennemgået i og andre.

Interessekonflikt erklæring

Forfatterne erklærer, at forskningen blev udført i fravær af kommercielle eller finansielle relationer, der kunne opfattes som en potentiel interessekonflikt.