Dirac-ligningen i den form, som oprindeligt blev foreslået af Dirac, er:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}}

hvor ψ = ψ(x, t) er bølgefunktionen for elektronen med hvilemassen m med rumtidskoordinater x, t. P1, p2, p3 er komponenterne af impulsen, forstået som impulsoperatoren i Schrödinger-ligningen. Desuden er c lysets hastighed, og ħ er den reducerede Planck-konstant. Disse fundamentale fysiske konstanter afspejler henholdsvis den specielle relativitetsteori og kvantemekanikken.

Diracs formål med at opstille denne ligning var at forklare den relativistisk bevægende elektrons opførsel og dermed gøre det muligt at behandle atomet på en måde, der er i overensstemmelse med relativitetsteorien. Hans ret beskedne håb var, at de korrektioner, der blev indført på denne måde, kunne have betydning for problemet med atomspektrer.

Hertil var forsøg på at gøre den gamle kvanteteori om atomet forenelig med relativitetsteorien, forsøg baseret på diskretisering af det vinkelmoment, der er lagret i elektronens muligvis ikke-cirkulære bane om atomkernen, mislykkedes – og den nye kvantemekanik af Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger og Dirac selv havde ikke udviklet sig tilstrækkeligt til at behandle dette problem. Selv om Diracs oprindelige intentioner blev opfyldt, havde hans ligning langt dybere implikationer for stoffets struktur og introducerede nye matematiske klasser af objekter, som nu er væsentlige elementer i den fundamentale fysik.

De nye elementer i denne ligning er de fire 4 × 4-matricer α1, α2 , α3 og β samt den firekomponentede bølgefunktion ψ. Der er fire komponenter i ψ, fordi evalueringen af den i ethvert givet punkt i konfigurationsrummet er en bispinor. Den fortolkes som en superposition af en spin-up elektron, en spin-down elektron, en spin-up positron og en spin-down positron (se nedenfor for yderligere diskussion).

De 4 × 4 matricer αk og β er alle hermitiske og er ufrivillige:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}}

og de er alle gensidigt anticommute:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}

Disse matricer og bølgefunktionens form har en dyb matematisk betydning. Den algebraiske struktur, der repræsenteres af gamma-matricerne, var blevet skabt omkring 50 år tidligere af den engelske matematiker W. K. Clifford. Cliffords ideer var på sin side opstået på baggrund af den tyske matematiker Hermann Grassmanns arbejde fra midten af det 19. århundrede i sin Lineale Ausdehnungslehre (teori om lineære udvidelser). Sidstnævnte var blevet betragtet som næsten uforståelig af de fleste af hans samtidige. Fremkomsten af noget så tilsyneladende abstrakt på et så sent tidspunkt og på en så direkte fysisk måde er et af de mest bemærkelsesværdige kapitler i fysikkens historie.

Den enkelte symbolske ligning opløses således til fire koblede lineære førsteordens partielle differentialligninger for de fire størrelser, der udgør bølgefunktionen. Ligningen kan skrives mere eksplicit i Planck-enheder som:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\\psi _{2}\\\\psi _{3}\\\\psi _{4}\end{bmatrix}}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\\-\psi _{3}\\\-\psi _{2}\\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}}-\psi _{4}\\\+\psi _{3}\\\\-\psi _{2}\\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\\\+\psi _{4}\\\\-\psi _{1}\\\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\\\+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\\-\psi _{3}\\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}}

hvilket gør det tydeligere, at der er tale om et sæt af fire partielle differentialligninger med fire ukendte funktioner.

Gør Schrödinger-ligningen relativistiskRediger

Dirac-ligningen ligner overfladisk set Schrödinger-ligningen for en massiv fri partikel:

– ℏ 2 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

Den venstre side repræsenterer kvadratet på impulsoperatoren divideret med det dobbelte af massen, som er den ikke-relativistiske kinetiske energi. Da relativiteten behandler rum og tid som en helhed, kræver en relativistisk generalisering af denne ligning, at rum- og tidsafledninger skal indgå symmetrisk, som de gør i Maxwell-ligningerne, der styrer lysets opførsel – ligningerne skal være differentielt af samme orden i rum og tid. I relativitetsteorien er impulsen og energierne rum- og tidsdelene af en rumtidsvektor, four-momentum, og de er relateret ved den relativistisk invariante relation

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}

som siger, at længden af denne fire-vektor er proportional med hvilemassen m. Ved at indsætte operatørækvivalenterne for energi og impuls fra Schrödinger-teorien får vi Klein-Gordon-ligningen, der beskriver udbredelsen af bølger, konstrueret ud fra relativistisk invariante objekter,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}}{\frac {\partial ^{2}}}{\partial t^{2}}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}}{\hbar ^{2}}}\phi }

med bølgefunktionen ϕ, der er en relativistisk skalar: et komplekst tal, der har samme numeriske værdi i alle referencerammer. Rum- og tidsafledninger går begge ind til anden orden. Dette har en sigende konsekvens for fortolkningen af ligningen. Fordi ligningen er af anden orden i tidsafledet, må man angive begyndelsesværdier både af selve bølgefunktionen og af dens første tidsafledede for at løse bestemte problemer. Da begge dele kan angives mere eller mindre vilkårligt, kan bølgefunktionen ikke bevare sin tidligere rolle, nemlig at bestemme sandsynlighedstætheden for at finde elektronen i en given bevægelsestilstand. I Schrödinger-teorien er sandsynlighedstætheden givet ved det positivt definitte udtryk

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

og denne tæthed konvegeres i henhold til sandsynlighedsstrømsvektoren

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\\frac {i\hbar }{2m}}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \nabla \phi ^{*})}

med bevarelse af sandsynlighedsstrøm og tæthed som følge af kontinuitetsligningen:

∇ ∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}

Den kendsgerning, at tætheden er positiv bestemt og konvegerer i henhold til denne kontinuitetsligning, indebærer, at vi kan integrere tætheden over et bestemt område og sætte summen til 1, og denne betingelse vil blive opretholdt af bevarelsesloven. En egentlig relativistisk teori med en sandsynlighedsdensitetsstrøm må også have denne egenskab. Hvis vi nu ønsker at bevare begrebet om en konvektiv tæthed, må vi generalisere Schrödinger-udtrykket for tætheden og strømmen, således at rum- og tidsafledninger igen indtræder symmetrisk i forhold til den skalare bølgefunktion. Vi har lov til at beholde Schrödinger-udtrykket for strømmen, men må erstatte sandsynlighedstætheden med det symmetrisk dannede udtryk

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}}(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*})~.}

som nu bliver den 4. komponent af en rumtidsvektor, og hele sandsynligheds-4-strømstætheden har det relativistisk kovariante udtryk

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∂ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})~.}

Den kontinuitetsligning er som før. Alt er nu foreneligt med relativitetsteorien, men vi ser straks, at udtrykket for tætheden ikke længere er positivt bestemt – begyndelsesværdierne for både ψ og ∂tψ kan vælges frit, og tætheden kan dermed blive negativ, hvilket er umuligt for en legitim sandsynlighedstæthed. Vi kan således ikke få en simpel generalisering af Schrödinger-ligningen under den naive antagelse, at bølgefunktionen er en relativistisk skalar, og den ligning den opfylder, anden orden i tiden.

Men selv om det ikke er en vellykket relativistisk generalisering af Schrödinger-ligningen, er denne ligning genopstået i forbindelse med kvantefeltteori, hvor den er kendt som Klein-Gordon-ligningen, og beskriver et spindelløst partikelfelt (f.eks. pi meson eller Higgs boson). Historisk set nåede Schrödinger selv frem til denne ligning før den, der bærer hans navn, men forkastede den hurtigt. I forbindelse med kvantefeltteori forstås den ubestemte tæthed som svarende til ladningstætheden, der kan være positiv eller negativ, og ikke sandsynlighedstætheden.

Dirac’s coupEdit

Dirac mente således at prøve en ligning, der var af første orden i både rum og tid. Man kunne f.eks. formelt (dvs. ved misbrug af notation) tage det relativistiske udtryk for energien

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}}~,}

erstatte p med dets operatørækvivalent, ekspandere kvadratroden i en uendelig række af afledte operatorer, opstille et egenværdiproblem og derefter løse ligningen formelt ved iterationer. De fleste fysikere havde ikke megen tiltro til en sådan proces, selv om den var teknisk mulig.

Som historien fortæller, sad Dirac og stirrede ind i pejsen i Cambridge og funderede over dette problem, da han kom på den idé at tage kvadratroden af bølgeoperatoren således:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}}{\frac {\partial ^{2}}}{\partial t^{2}}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}\right)~.}

Ved multiplikation af den højre side ser vi, at for at få alle krydstermer som ∂x∂y til at forsvinde, må vi antage

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

med

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, der netop på det tidspunkt havde været intenst optaget af at udarbejde grundlaget for Heisenbergs matrixmekanik, forstod straks, at disse betingelser kunne være opfyldt, hvis A, B, C og D er matricer, hvilket indebærer, at bølgefunktionen har flere komponenter. Dette forklarede straks, hvorfor der optrådte bølgefunktioner med to komponenter i Paulis fænomenologiske teori om spin, noget, der indtil da var blevet betragtet som mystisk, selv for Pauli selv. Man har imidlertid brug for mindst 4 × 4 matricer for at opstille et system med de nødvendige egenskaber – bølgefunktionen havde altså fire komponenter, ikke to som i Pauli-teorien eller én som i den nøgne Schrödinger-teori. Bølgefunktionen med fire komponenter repræsenterer en ny klasse af matematiske objekter i fysiske teorier, som for første gang optræder her.

Givet faktoriseringen i form af disse matricer, kan man nu straks nedskrive en ligning

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

med κ {\displaystyle \kappa }

skal bestemmes. Hvis man igen anvender matrixoperatoren på begge sider, fås ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Om at tage κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}}

finder vi, at alle komponenterne i bølgefunktionen hver for sig opfylder den relativistiske energi-momentum-relation. Den søgte ligning, der er af første orden i både rum og tid, er således ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}}\right)\psi =0~.}

Setting

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,\,D=\beta ~,}

og fordi D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}

får vi Dirac-ligningen som skrevet ovenfor.

Kovariant form og relativistisk invariansRediger

For at demonstrere ligningens relativistiske invarians er det fordelagtigt at støbe den i en form, hvor rum- og tidsafledninger optræder på lige fod. Der indføres nye matricer som følger:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

og ligningen har formen (hvis man husker definitionen af de kovariante komponenter af 4-gradient og især at ∂0 = 1/c∂t )

hvor der er en underforstået summation over værdierne af det to gange gentagne indeks μ = 0, 1, 2, 3, og ∂μ er 4-gradienten. I praksis skriver man ofte gamma-matricerne i form af 2 × 2 undermatricer, der er taget fra Pauli-matricerne og 2 × 2 identitetsmatrixen. Eksplicit er standardrepræsentationen

γ 0 = ( I 2 0 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

Det komplette system opsummeres ved hjælp af Minkowski-metrikken på rumtiden i formen

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ μ ν I 4 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}}

hvor parentesudtrykket

{ a , b } = a b + b a {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}

betegner anticommutatoren. Dette er de definerende relationer for en Clifford-algebra over et pseudo-ortogonalt 4-dimensionalt rum med metrisk signatur (+ – – – -). Den specifikke Clifford-algebra, der er anvendt i Dirac-ligningen, er i dag kendt som Dirac-algebraen. Selv om Dirac ikke anerkendte det som sådan på det tidspunkt, hvor ligningen blev formuleret, repræsenterer indførelsen af denne geometriske algebra set i bakspejlet et enormt fremskridt i udviklingen af kvanteteorien.

Dirac-ligningen kan nu fortolkes som en egenværdi-ligning, hvor hvilemassen er proportional med en egenværdi af 4-momentumoperatoren, idet proportionalitetskonstanten er lysets hastighed:

P o p ψ = m c ψ . {\displaystyle P_{\mathrm {op} }\psi =mc\psi ~.}

Using ∂ / = d e f γ μ ∂ μ μ {\displaystyle {\partial \!\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}}\ \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}

( ∂ / {\displaystyle {\partial \!\!\!\!\!{\big /}}}

udtales “d-skråstreg”), bliver Dirac-ligningen i henhold til Feynman-skråstreg-notationen: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0.}

I praksis bruger fysikere ofte måleenheder, så ħ = c = 1, såkaldte naturlige enheder. Ligningen får så den enkle form

En grundlæggende sætning fastslår, at hvis to forskellige sæt af matricer er givet, som begge opfylder Clifford-relationerne, så er de forbundet med hinanden ved en lighedstransformation:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Hvis matricerne desuden alle er unitære, ligesom Dirac-mængden, så er S selv unitær;

γ μ ′ = U † γ μ μ U . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

Transformationen U er unik op til en multiplikativ faktor med absolut værdi 1. Lad os nu forestille os, at der er udført en Lorentz-transformation på rum- og tidskoordinaterne og på de afledte operatører, som danner en kovariant vektor. For at operatoren γμ∂∂μμ skal forblive invariant, skal gammaerne indbyrdes transformere sig som en kontravariant vektor med hensyn til deres rumtidsindeks. Disse nye gammas vil selv opfylde Clifford-relationerne på grund af Lorentz-transformationens ortogonalitet. I henhold til den grundlæggende sætning kan vi erstatte det nye sæt med det gamle sæt, der er underkastet en enhedstransformation. I den nye ramme, idet vi husker, at hvilemassen er en relativistisk skalar, vil Dirac-ligningen så antage formen

( i U † γ γ μ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{{\prime },t^{{\prime })=0}

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi (x^{{\prime },t^{{\prime })=0~.}

Hvis vi nu definerer den transformerede spinor

ψ ′ = U ψ {\displaystyle \psi ^{{\prime }=U\psi }

så har vi den transformerede Dirac-ligning på en måde, der demonstrerer manifest relativistisk invarians:

( i γ μ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi ^{\prime }(x^{{\prime },t^{{\prime })=0~.}

Når vi først har besluttet os for en enhedsrepræsentation af gammaerne, er den således endelig, forudsat at vi transformerer spinoren i henhold til den enhedstransformation, der svarer til den givne Lorentz-transformation.

De forskellige repræsentationer af de anvendte Dirac-matricer vil sætte fokus på særlige aspekter af det fysiske indhold i Dirac-bølgefunktionen (se nedenfor). Den her viste repræsentation er kendt som standardrepræsentationen – i den går bølgefunktionens to øverste komponenter over i Pauli’s 2-spinor-bølgefunktion i grænsen for lave energier og små hastigheder i forhold til lys.

Overvejelserne ovenfor afslører gammas oprindelse i geometrien, hvilket leder tilbage til Grassmanns oprindelige motivation – de repræsenterer et fast grundlag af enhedsvektorer i rumtiden. På samme måde repræsenterer produkter af gammas, såsom γμγν, orienterede overfladeelementer osv. Med dette in mente kan vi finde formen af enhedsvolumenelementet i rumtiden i form af gammas på følgende måde. Pr. definition er det

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β β γ μ γ γ ν γ γ α γ γ β . {\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}

For at dette kan være en invariant, skal epsilonsymbolet være en tensor og skal derfor indeholde en faktor √g, hvor g er determinanten af den metriske tensor. Da denne er negativ, er denne faktor imaginær. Således

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Denne matrix har fået det specielle symbol γ5 på grund af dens betydning, når man overvejer ukorrekte transformationer af rum-tid, dvs. transformationer, der ændrer basisvektorernes orientering. I standardrepræsentationen er den

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Denne matrix vil også vise sig at være i modstrid med de fire andre Dirac-matricer:

γ 5 γ μ μ + γ μ γ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}

Det indtager en hovedrolle, når spørgsmål om paritet opstår, fordi volumenelementet som en rettet størrelse skifter fortegn under en rum-tidsreflektion. At tage den positive kvadratrod ovenfor svarer således til at vælge en håndhedskonvention på rumtiden.

Bevarelse af sandsynlighedsstrømmenRediger

Ved at definere den adjungerede spinor

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}}

hvor ψ† er den konjugerede transponering af ψ, og idet man bemærker, at

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

ved at tage den hermitiske konjugerede af Dirac-ligningen og multiplicere fra højre med γ0, får vi den adjungerede ligning:

ψ ¯ ( i γ γ μ ∂ μ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}

hvor ∂μ forstås som værende til venstre. Ved at multiplicere Dirac-ligningen med ψ fra venstre, og den adjungerede ligning med ψ fra højre, og addere, fås Dirac-strømmens bevarelseslov:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0~.}

Nu ser vi den store fordel ved førsteordensligningen i forhold til den, som Schrödinger havde forsøgt sig med – det er den bevarede strømtæthed, som kræves af den relativistiske invarians, blot er dens 4. komponent nu positiv bestemt og dermed egnet til at spille rollen som sandsynlighedstæthed:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi ~.}

Da sandsynlighedstætheden nu optræder som den fjerde komponent af en relativistisk vektor og ikke som en simpel skalar som i Schrödinger-ligningen, vil den være underlagt de sædvanlige virkninger af Lorentz-transformationerne, såsom tidsudvidelse. Således vil f.eks. atomare processer, der observeres som hastigheder, nødvendigvis blive justeret på en måde, der er i overensstemmelse med relativitetsteorien, mens de processer, der involverer måling af energi og impuls, som selv udgør en relativistisk vektor, vil undergå en parallel justering, der bevarer den relativistiske kovarians af de observerede værdier. Dirac-strømmen selv er så den rumtidskovariante fire-vektor:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}

SolutionsEdit

Se Dirac-spinor for detaljer om løsninger til Dirac-ligningen. Bemærk, at da Dirac-operatoren virker på 4-tupler af kvadratintegrerbare funktioner, bør dens løsninger være medlemmer af det samme Hilbert-rum. Det er uventet, at løsningernes energier ikke har en nedre grænse – se afsnittet om hulteori nedenfor for flere detaljer.

Sammenligning med Pauli-teorienRediger

Nødvendigheden af at indføre halvt heltals-spin går eksperimentelt set tilbage til resultaterne af Stern-Gerlach-eksperimentet. En stråle af atomer føres gennem et stærkt inhomogent magnetfelt, som derefter deler sig i N dele afhængig af atomernes iboende vinkelmoment. Man fandt ud af, at for sølvatomer blev strålen delt i to – grundtilstanden kunne derfor ikke være heltal, for selv hvis atomernes iboende impulsmoment var så lille som muligt, 1, ville strålen blive delt i tre dele, svarende til atomer med Lz = -1, 0, +1. Konklusionen er, at sølvatomer har et iboende nettovinkelmoment på 1⁄2. Pauli opstillede en teori, der forklarede denne opsplitning ved at indføre en to-komponent bølgefunktion og et tilsvarende korrektionsterm i Hamiltonianen, der repræsenterer en halvklassisk kobling af denne bølgefunktion til et påført magnetfelt, således i SI-enheder: (Bemærk, at fed skrift antyder euklidiske vektorer i 3 dimensioner, mens Minkowski fire-vektoren Aμ kan defineres som A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Her er A og ϕ {\displaystyle \phi }

komponenterne af den elektromagnetiske fire-potentiale i deres standard SI-enheder, og de tre sigmaer er Pauli-matricerne. Ved kvadrering af det første udtryk findes en resterende vekselvirkning med det magnetiske felt sammen med den sædvanlige klassiske Hamiltonian for en ladet partikel, der vekselvirker med et påført felt i SI-enheder: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}

Denne Hamiltonian er nu en 2 × 2 matrix, så Schrödinger-ligningen baseret på den skal bruge en to-komponent bølgefunktion. Ved at indføre det eksterne elektromagnetiske 4-vektorpotentiale i Dirac-ligningen på en lignende måde, kendt som minimal kobling, får den formen:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

En anden anvendelse af Dirac-operatoren vil nu gengive Pauli-termen nøjagtigt som før, fordi de rumlige Dirac-matricer multipliceret med i, har de samme kvadrerings- og kommuteringsegenskaber som Pauli-matricerne. Desuden forklares værdien af elektronens gyromagnetiske forhold, der står foran Pauli’s nye term, ud fra de første principper. Dette var en stor bedrift for Dirac-ligningen og gav fysikerne stor tiltro til dens generelle korrekthed. Der er dog mere. Pauli-teorien kan ses som Dirac-teoriens lav-energibegrænsning på følgende måde. Først skrives ligningen i form af koblede ligninger for 2-spinorer med SI-enhederne gendannet:

( ( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

så

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}}

Antages det, at feltet er svagt og elektronens bevægelse ikke-relativistisk, har vi elektronens samlede energi omtrent lig med dens hvileenergi, og impulsen går over til den klassiske værdi,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} }

og så kan den anden ligning skrives

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {\frac {1}{2mc}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

som er af størrelsesordenen v/c – altså ved typiske energier og hastigheder, er de nederste komponenter af Dirac-spinoren i standardrepræsentationen meget undertrykt i forhold til de øverste komponenter. Substituering af dette udtryk i den første ligning giver efter en vis omlægning

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

Operatoren til venstre repræsenterer partikelenergien reduceret med dens hvileenergi, som blot er den klassiske energi, så vi genfinder Pauli’s teori, hvis vi identificerer hans 2-spinor med de øverste komponenter af Dirac-spinoren i den ikke-relativistiske tilnærmelse. En yderligere tilnærmelse giver Schrödinger-ligningen som en grænse for Pauli-teorien. Schrödinger-ligningen kan således ses som den fjerne ikke-relativistiske approksimation af Dirac-ligningen, når man kan negligere spin og kun arbejde ved lave energier og hastigheder. Dette var også en stor triumf for den nye ligning, da den sporede det mystiske i, der optræder i den, og nødvendigheden af en kompleks bølgefunktion, tilbage til rumtidens geometri gennem Dirac-algebraen. Det fremhæver også, hvorfor Schrödinger-ligningen, selv om den overfladisk set har form af en diffusionsligning, faktisk repræsenterer bølgeudbredelsen.

Det skal kraftigt understreges, at denne opdeling af Dirac-spinoren i store og små komponenter udtrykkeligt afhænger af en lav-energi-approksimation. Hele Dirac-spinoren repræsenterer en ureducerbar helhed, og de komponenter, som vi netop har forsømt for at nå frem til Pauli-teorien, vil medføre nye fænomener i det relativistiske regime – antimaterie og ideen om skabelse og tilintetgørelse af partikler.

Sammenligning med Weyl-teorienRediger

I grænsen m → 0 reduceres Dirac-ligningen til Weyl-ligningen, som beskriver relativistiske masseløse spin-1⁄2-partikler.

Dirac-lagrangianRediger

Både Dirac-ligningen og Adjoint Dirac-ligningen kan fås ved at (variere) handlingen med en specifik lagrangian-tæthed, der er givet ved:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}}\psi }