Vis mobilmeddelelse Vis alle noter Vis alle noter Skjul alle noter

Kapitel 4 : Multiple integraler

I Calculus I gik vi over til emnet integraler, efter at vi havde afsluttet diskussionen om derivater. Det samme gør sig gældende i dette kursus. Nu, hvor vi er færdige med diskussionen af afledte af funktioner med mere end én variabel, skal vi gå videre til integraler af funktioner med to eller tre variable.

De fleste af emnerne om afledte afledninger udvidede sig noget naturligt fra deres modstykker i Calculus I, og det vil være det samme her. Men fordi vi nu inddrager funktioner af to eller tre variable, vil der også være nogle forskelle. Der vil være ny notation og nogle nye spørgsmål, som simpelthen ikke opstår, når man beskæftiger sig med funktioner af en enkelt variabel.

Her er en liste over de emner, der behandles i dette kapitel.

Dobbeltintegraler – I dette afsnit vil vi formelt definere dobbeltintegralet samt give en hurtig fortolkning af dobbeltintegralet.

Itererede integraler – I dette afsnit vil vi vise, hvordan Fubinis sætning kan bruges til at evaluere dobbelte integraler, hvor integrationsområdet er et rektangel.

Dobbelte integraler over generelle regioner – I dette afsnit vil vi begynde at evaluere dobbelte integraler over generelle regioner, dvs. regioner, der ikke er rektangler. Vi vil illustrere, hvordan et dobbeltintegral af en funktion kan fortolkes som nettovolumenet af det faste rum mellem overfladen givet af funktionen og \(xy\)-planet.

Dobbeltintegraler i polarkoordinater – I dette afsnit vil vi se på konvertering af integraler (herunder \(dA\)) i kartesiske koordinater til polarkoordinater. Integrationsområderne i disse tilfælde vil være hele eller dele af skiver eller ringe, og derfor skal vi også konvertere de oprindelige kartesiske grænser for disse områder til polarkoordinater.

Tripelintegraler – I dette afsnit definerer vi tripelintegralet. Vi vil også illustrere en hel del eksempler på opstilling af integrationsgrænserne fra det tredimensionelle integrationsområde. Det er ofte den vanskelige del af disse problemer at finde frem til integrationsgrænserne.

Tripelintegraler i cylindriske koordinater – I dette afsnit vil vi se på konvertering af integraler (herunder \(dV\))) i kartesiske koordinater til cylindriske koordinater. Vi vil også konvertere de oprindelige kartesianske grænser for disse områder til cylindriske koordinater.

Tripelintegraler i sfæriske koordinater – I dette afsnit vil vi se på konvertering af integraler (herunder \(dV\)) i kartesianske koordinater til sfæriske koordinater. Vi vil også konvertere de oprindelige kartesianske grænser for disse områder til sfæriske koordinater.

Vandringer af variabler – I tidligere afsnit har vi konverteret kartesianske koordinater i polære, cylindriske og sfæriske koordinater. I dette afsnit vil vi generalisere denne idé og diskutere, hvordan vi konverterer integraler i kartesiske koordinater til alternative koordinatsystemer. Der vil indgå en afledning af \(dV\) konverteringsformlen ved konvertering til sfæriske koordinater.

Overfladeareal – I dette afsnit vil vi vise, hvordan et dobbeltintegral kan bruges til at bestemme overfladearealet af den del af en overflade, der ligger over et område i det todimensionelle rum.

Overflade og volumen genbeskrevet – I dette afsnit opsummerer vi de forskellige areal- og volumenformler fra dette kapitel.