Jeg vil definere en funktion s i N, og jeg vil definere den som summen summen summen af alle positive hele positive hele positive hele hele hele tal inklusive n inklusive inklusive n, og så er domænet for denne funktion virkelig alle positive hele tal og skal være et positivt heltal og så kan vi prøve det med et par ting vi kunne tage s af 3 dette vil være lig med 1 plus 2 plus 3 som er lig med 6 vi kunne tage s af lad os tage s af 4 godt det vil være 1 plus 2 plus 3 plus 4 som vil være lig med 10 så temmelig temmelig ligetil nu hvad jeg ønsker at gøre i denne video er at bevise for dig, og der er faktisk flere måder at bevise dette på, at jeg kan skrive dette som en funktion af n at summen af alle de positive hele tal op til og med n er lig med n gange n plus 1 alt det over 2 og den måde jeg vil bevise det for dig er i det mindste den første måde jeg vil bevise det for dig er ved induktion dette vil være et bevis ved induktion, det er en interessant filosofisk måde at bevise noget på, fordi måden man beviser ved induktion på er først at bevise grundtilfældet, så i tilfældet med denne funktion, dette udsagn herovre, så det er det, vi skal bevise i tilfældet med dette udsagn herovre, vi vil først bevise det 4-1 det vil være vores grundtilfælde og så vil vi lave induktionstrinnet induktionstrinnet som i bund og grund er at sige at hvis vi antager at det virker for et positivt heltal K så hvis vi antager det så kan vi bevise at det vil virke for det næste positive heltal så vil det virke for K plus 1 og grunden til at dette virker lad os sige at vi beviser hvis vi beviser begge dele af dette så grundtilfælde vi vil bevise det for i dette tilfælde vil vi bevise for 1 bevise for 1 bevise for 1 men der er det behøver ikke altid at være 1 fordi du kan din din din det kan være dette er sandt for alt over 55 eller alt over en eller anden tærskel, men i dette tilfælde siger vi, at det er sandt for alle positive hele tal, så vores grundtilfælde bliver 4 1 og så vores næste F vi vil prøve at bevise, at hvis du antager, hvis du antager 4, hvis du antager, at denne ting er sandt for nogle af K, hvis vi antager, at så vil det være sandt for nogle af K plus 1 og grunden til at dette er alt hvad du behøver at gøre for at bevise dette for alle positive heltal er bare forestille sig så lad os tænke på alle de positive heltal lige herovre 1 2 3 4 4 5 6 du kunne bare blive ved i al evighed så vi vil bevise det 4-1 vi vil bevise, at denne formel lige herovre dette dette udtryk gælder for tilfældet 1, når n er 1 og så vil vi bevise, at hvis vi ved, at det er sandt for en given K, så er det sandt for den næste, så hvis vi ved, at det er sandt for 1 i vores grundtilfælde, så siger det andet trin dette induktionstrin, at det må være sandt for 2, fordi vi har bevist generelt, at hvis det er sandt for K, så vil det være sandt for K plus 1 godt hvis det er sandt for 2 så må det være sandt for 3 fordi vi har bevist hvis det er sandt for hvis det er sandt for K er sandt for K plus 1 så hvis det er sandt for 2 er det sandt for 3 og så hvis det er sandt for 3 skal det være sandt for 4 og du kan bare blive ved og ved i al evighed hvilket betyder at det er sandt for alt nu talt i almindelighed ud almindeligheder lad os faktisk bevise dette ved hjælp af ved induktion så lad os tage lad os tage lad os tage lad os tage lad os tage den summen lad os gøre denne funktion på 1 godt det er bare vil være summen af alle positive heltal inklusive 1 er bare bogstaveligt talt vil være 1 vi har lige tilføjet dem alle det er bare 1 der er ingen andre positive heltal op til og inklusive 1 og vi kan bevise at dette er det samme som 1 gange 1 plus 1 alt det over 2 1 plus 1 er 2 2 divideret med 2 er 1 1 gange 1 er 1 så denne formel lige herovre dette udtryk det virkede for det virkede for 1 så vi har bevist vi har bevist vores grundtilfælde vi har bevist det for 1 nu hvad jeg vil gøre er at jeg vil antage at det virker for et tal for for et tal K så jeg vil antage jeg vil antage jeg vil antage sandt sandt for jeg vil antage at det er sandt for et tal K så jeg vil antage at for et tal K at denne funktion ved K vil være lig med K gange k plus 1 over 2 så jeg antager bare at det er sandt for det nu hvad jeg vil gøre er at tænke på hvad der sker når jeg prøver at finde når jeg prøver at finde denne funktion for k plus 1 så det er hvad jeg antager jeg antager jeg antager jeg ved det nu lad os prøve at gøre det for k plus 1 så hvad er summen af alle de hele tal op til og inklusive k plus 1 op til og inklusive k plus 1 godt dette vil være 1 plus 2 Plus 3 plus hele vejen op til k plus k plus 1 ret dette er summen af alt op til og inklusive k plus 1 godt vi antager at vi ved hvad dette allerede er vi antager at vi allerede har en formel for dette vi antager at dette vil forenkle til k gange k plus 1 over 2 eller antager at vi ved det og så vil vi bare tage denne del og vi vil tilføje det til k plus 1 så vi vil tilføje det til k plus 1 herovre vi vil tilføje det til k plus 1 og hvis du finder en fællesnævner hvis du finder en kommentar den fællesnævneren vil være 2 så lad os gå dette vil være lig med jeg vil skrive den del i magenta først dette er K gange k plus 1 over 2 plus 2 gange k plus 1 over 2 denne ting i blå er det samme som den ting i blå toerne ville annullere sig jeg skrev det bare på denne måde så jeg har en fællesnævner og så dette vil være lig med dette vil være lig med dette vil være lig med vi har en fællesnævner på 2 og jeg vil skrive det i en anden farve her så vi får K gange k plus 1 plus 2 gange k plus 1 nu på dette trin lige herovre kan du faktorisere et k plus 1 begge disse termer er delelige med K plus 1 så lad os faktorisere dette ud hvis du faktoriserer et k plus 1 får du k plus 1 k plus 1 k plus 1 gange vi brækker det ud herovre hvis du faktoriserer et k plus 1 har du bare et K herovre hvis du faktoriserer et k plus 1 har du bare et – Lad mig farvekode dem, så du ved, hvad jeg laver, så denne 2 er denne 2 lige derovre og denne K denne K er denne K er denne K er denne K lige derovre vi udregnede det ud dette disse k plus en gang vi udregnede det omkring 2 denne k plus 1 lige derovre og det bliver alt dette alt dette alt dette over 2 nu kan vi omskrive dette er det samme dette er lig med dette er det samme som dette er det samme som dette er det samme som k plus 1 det er denne del lige herovre gange k plus 1 k plus 1 k plus 1 plus 1 ret dette er klart det samme som k plus 2 alt det over alt det over 2 Hvorfor er det interessant for os? Vi har lige bevist det, hvis vi antager, at det er sandt, hvis vi antager, at det er sandt, og hvis vi bruger denne antagelse, så får vi, at summen af alle positive hele tal op til og med k plus 1 er lig med k plus 1 gange k plus 1 plus 1 plus 1 over 2 vi viser faktisk at den oprindelige formel den oprindelige formel gælder også for k plus 1 hvis man bare tager k plus 1 og sætter det ind for n man kunne sætte det ind for n man fik præcis det resultat som vi fik herovre så vi viste vi viste vi bevist vi har bevist vores grundtilfælde dette dette dette dette dette udtryk virkede for summen for alle de positive hele tal op til og med 1 og det virker også hvis vi antager at det virker for alt op til op til op til k eller hvis vi antager at det virker for heltallet k virker det også for heltallet k plus 1 og vi er færdige det er vores bevis ven ved induktion der beviser for os at det virker for alle positive heltal hvorfor er det godt vi har bevist det for 1 og vi har bevist det at hvis det virker for et heltal vil det virke for det næste heltal hvis du kan antage at det virker for et heltal vil det virke for det næste heltal, så hvis du antager, at det virker for et, så kan det virke for to. Vi har allerede bevist, at det virker for et, så vi kan antage, at det virker for et, så det vil helt sikkert virke for to, så vi får to kontrolleret, men da vi kan antage, at det virker Hvis det virker for to, kan vi nu antage, at det virker for tre, og hvis det virker for tre, så har vi bevist, at det virker for fire. Du kan se, hvordan dette induktionstrin er en slags domino, og det falder i kaskader, og vi kan fortsætte i al evighed, så det vil virkelig virke for alle positive hele tal.