AristotelesEdit

Nejstarší známá formulace je v Aristotelově diskusi o principu neprotikladnosti, poprvé navrženém ve spise O výkladu, kde říká, že ze dvou protikladných propozic (tj. kde jedna propozice je negací druhé) musí být jedna pravdivá a druhá nepravdivá. Jako princip ji uvádí také ve 3. knize Metafyziky, kde říká, že je nutné v každém případě tvrdit nebo popírat a že není možné, aby mezi oběma částmi kontradikce něco bylo.

Aristoteles píše, že dvojznačnost může vzniknout z použití dvojznačných jmen, ale nemůže existovat v samotných skutečnostech:

Není tedy možné, aby „být člověkem“ znamenalo právě „nebýt člověkem“, jestliže „člověk“ neznamená jen něco o jednom předmětu, ale má také jeden význam. … A nebude možné být a nebýt totéž, leda na základě dvojznačnosti, stejně jako kdyby někdo, koho nazýváme „člověkem“, a jiní měli nazývat „ne-člověkem“; nejde však o to, zda totéž může být a nebýt zároveň člověkem podle jména, nýbrž zda jím může být ve skutečnosti. (Metafyzika 4.4, W. D. Ross (přel.), GBWW 8, 525-526).

Aristotelovo tvrzení, že „nebude možné být a nebýt totéž“, které by se ve výrokové logice zapsalo jako ¬(P ∧ ¬P), je výrok, který by moderní logikové mohli nazvat zákonem vyloučeného středu (P ∨ ¬P), jako distribuce negace Aristotelova tvrzení je činí ekvivalentními bez ohledu na to, že první z nich tvrdí, že žádný výrok není zároveň pravdivý i nepravdivý, zatímco druhý vyžaduje, aby každý výrok byl buď pravdivý, nebo nepravdivý.

Aristoteles však také píše: „Protože je nemožné, aby kontradikce byly zároveň pravdivé o téže věci, je zřejmé, že ani kontradikce nemohou patřit zároveň k téže věci“ (kniha IV, CH 6, s. 531). Poté navrhuje, že „mezi kontradikcemi nemůže být mezičlánek, ale o jednom subjektu musíme buď tvrdit, nebo popírat nějaký jeden predikát“ (kniha IV, CH 7, s. 531). V kontextu Aristotelovy tradiční logiky je to pozoruhodně přesné vyjádření zákona vyloučeného středu, P ∨ ¬P.

Také v knize O výkladu se zdá, že Aristoteles popírá zákon vyloučeného středu v případě budoucích kontingentů, a to v diskusi o námořní bitvě.

LeibnizEdit

Jeho obvyklá forma: „Každý soud je buď pravdivý, nebo nepravdivý“ ..“ (z Kolmogorov in van Heijenoort, str. 421) poznámka pod čarou 9: „To je Leibnizova velmi jednoduchá formulace (viz Nouveaux Essais, IV,2)“ (tamtéž, s. 421)

Bertrand Russell a Principia MathematicaEdit

Tento princip uvedli Russell a Whitehead v Principia Mathematica jako větu výrokové logiky takto:

∗ 2 ⋅ 11 . ⊢ . p ∨ ∼ p {\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}

.

Takže co je to vlastně „pravda“ a „lež“? V úvodu PM rychle oznámí několik definic:

Pravdivé hodnoty. „Pravdivostní hodnota“ propozice je pravdivá, je-li pravdivá, a nepravdivá, je-li nepravdivá* …pravdivostní hodnota „p ∨ q“ je pravdivá, je-li pravdivá buď p, nebo q, a je nepravdivá v opačném případě … hodnota „~ p“ je opakem hodnoty p…“. (str. 7-8)

To nám příliš nepomůže. Ale později, v mnohem hlubší diskusi („Definice a systematická mnohoznačnost pravdy a nepravdy“, kapitola II, část III, str. 41 a dále), PM definuje pravdu a nepravdu z hlediska vztahu mezi „a“ a „b“ a „percipientem“. Například „Toto ‚a‘ je ‚b'“ (např. „Tento ‚předmět a‘ je ‚červený'“) ve skutečnosti znamená „‚předmět a‘ je smyslovým datem“ a „‚červený‘ je smyslovým datem“ a „stojí ve vztahu“ k sobě navzájem a ve vztahu k „já“. Ve skutečnosti tedy máme na mysli: „Vnímám, že ‚tento předmět a je červený'“, a to je nepopiratelná-po-třetí-straně „pravda“.

PM dále definuje rozdíl mezi „smyslovým datem“ a „smyslem“:

To znamená, že když soudíme (říkáme) „toto je červené“, dochází ke vztahu tří pojmů, mysli a „tohoto“ a „červeného“. Na druhé straně, když vnímáme „červenost tohoto“, dochází ke vztahu dvou termínů, totiž mysli a komplexního objektu „červenost tohoto“ (s. 43-44).

Russell zopakoval své rozlišení mezi „smyslovými daty“ a „vjemy“ ve své knize Problémy filosofie (1912), vydané ve stejné době jako PM (1910-1913):

Nazývejme „smyslovými daty“ věci, které jsou bezprostředně poznatelné ve vjemu: takové věci jako barvy, zvuky, vůně, tvrdosti, drsnosti atd. Zkušenosti bezprostředního poznávání těchto věcí dáme název „smyslové vjemy“… Barva sama o sobě je smyslovým datem, nikoliv vjemem. (str. 12)

Russell v téže knize (kapitola XII, Pravda a lež) dále popsal své úvahy o definicích „pravdy“ a „nepravdy“.

Důsledky zákona vyloučeného středu v Principia MathematicaEdit

Z zákona vyloučeného středu, formule ✸2.1 v Principia Mathematica, Whitehead a Russell odvozují jedny z nejmocnějších nástrojů v argumentačním instrumentáři logika. (V Principia Mathematica jsou formule a propozice označeny úvodní hvězdičkou a dvěma čísly, například „✸2.1“)

✸2.1 ~p ∨ p „Toto je zákon vyloučeného středu“ (PM, s. 101).

Důkaz ✸2.1 je zhruba následující: „Primitivní myšlenka“ 1.08 definuje p → q = ~p ∨ q. Dosazením p za q v tomto pravidle dostaneme p → p = ~p ∨ p. Protože p → p je pravdivé (to je věta 2.08, která se dokazuje samostatně), pak ~p ∨ p musí být pravdivé.

✸2.11 p ∨ ~p (Permutace tvrzení je povolena axiomem 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Princip dvojí negace, část 1: je-li „tato růže je červená“ pravdivé, pak není pravda, že „‚tato růže není červená‘ je pravdivé“)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)}. (Lemma spolu s 2.12 slouží k odvození 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Princip dvojí negace, část 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Jeden ze čtyř „principů transpozice“. Podobně jako 1.03, 1.16 a 1.17. Zde byla nutná velmi dlouhá demonstrace.“
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Je-li pravda, že „Je-li tato růže červená, pak toto prase létá“, pak je pravda, že „Jestliže toto prase nelétá, pak tato růže není červená.“)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (Další z „Principů transpozice“.)
✸2.18 (~p → p) → p (Nazývá se „Doplněk reductio ad absurdum“. Tvrdí, že propozice, která vyplývá z hypotézy své vlastní nepravdivosti, je pravdivá.“ (PM, s. 103-104))

Většinu těchto tvrzení – zejména ✸2.1, ✸2.11 a ✸2.14 – intuicionismus odmítá. Tyto nástroje jsou přetvořeny do jiné podoby, kterou Kolmogorov uvádí jako „Hilbertovy čtyři axiomy implikace“ a „Hilbertovy dva axiomy negace“ (Kolmogorov in van Heijenoort, s. 335).

Výroky ✸2.12 a ✸2.14, „dvojí negace“:Intuicionistické spisy L. E. Dž. Brouwer se odvolává na to, co nazývá „principem reciprocity vícenásobných druhů, tj. principem, že pro každý systém vyplývá správnost vlastnosti z nemožnosti nemožnosti této vlastnosti“ (Brouwer, tamtéž, s. 335).

Tento princip se běžně nazývá „princip dvojité negace“ (PM, s. 101-102). Ze zákona vyloučeného středu (✸2.1 a ✸2.11) PM bezprostředně odvozuje princip ✸2.12. V tomto případě se jedná o zákon vyloučeného středu. Náhradou ~p za p v 2.11 získáme ~p ∨ ~(~p) a podle definice implikace (tj. 1.01 p → q = ~p ∨ q) pak ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (Odvození 2.14 je trochu složitější.)

ReichenbachEdit

Přinejmenším pro bivalentní logiku – tj. lze to vidět pomocí Karnaughovy mapy – je správné, že tento zákon odstraňuje „střed“ inkluze-nebo použitý v jeho zákoně (3). A právě v tom spočívá Reichenbachova ukázka toho, že někteří se domnívají, že exkluzivní-nebo by mělo zaujmout místo inkluzivního-nebo.

O této otázce (pravda, velmi odborně) Reichenbach poznamenává:

The tertium non datur 29.

. (x) není ve svých větných členech vyčerpávající, a proto je to formule nadsazená. Tato skutečnost snad může vysvětlovat, proč někteří lidé považují za nerozumné psát (29) se znakem inkluzivní-„nebo“ a chtějí, aby se psal se znakem exkluzivní-„nebo“ 30. (x), kde symbol „⊕“ označuje exkluzivní-nebo, v této podobě by byla plně vyčerpávající, a tedy nomologická v užším smyslu. (Reichenbach, s. 376)

V řádku (30) znamená „(x)“ „pro všechny“ nebo „pro každého“, což je forma používaná Russellem a Reichenbachem; dnes se obvykle používá symbolismus ∀ {\displaystyle \forall }.

x. Příklad výrazu by tedy vypadal takto:

• (prase): (Moucha(prase) ⊕ ~Moucha(prase))
• (Pro všechny případy „prase“ viděné i neviděné): („Prase létá“ nebo „Prase nelétá“, ale ne obojí současně)

Logikové versus intuicionistéEdit

Od konce 19. století až do 30. let 20. století zuřila ostrá a úporná debata mezi Hilbertem a jeho stoupenci versus Hermannem Weylem a L. E. J. Brouwerem. S Brouwerovou filozofií, nazývanou intuicionismus, začal koncem 19. století vážně Leopold Kronecker.

Hilbertovi se Kroneckerovy myšlenky silně nelíbily:

Kronecker trval na tom, že bez konstrukce nemůže existovat. Pro něj, stejně jako pro Paula Gordana , Hilbertův důkaz konečnosti základu invariantní soustavy prostě nebyl matematikou. Hilbert naproti tomu po celý svůj život trval na tom, že pokud lze dokázat, že atributy přiřazené nějakému pojmu nikdy nepovedou k rozporu, je tím matematická existence pojmu prokázána (Reid str. 34)

Tvrdil, že o ničem nelze říci, že má matematickou existenci, pokud to nelze skutečně zkonstruovat s konečným počtem kladných celých čísel (Reid str. 26)

Tato debata měla na Hilberta hluboký vliv. Reid uvádí, že Hilbertův druhý problém (jeden z Hilbertových problémů z druhé mezinárodní konference v Paříži v roce 1900) se vyvinul z této debaty (kurzíva v originále):

Ve svém druhém problému požádal o matematický důkaz konzistence axiomů aritmetiky reálných čísel. Aby ukázal význam tohoto problému, připojil následující poznámku: „Jsou-li nějakému pojmu přiřazeny protichůdné atributy, říkám, že matematicky tento pojem neexistuje.“ (Reid, s. 71)

Tím Hilbert říkal: „

A nakonec konstruktivisté … omezili matematiku na studium konkrétních operací na konečných nebo potenciálně (ale ne skutečně) nekonečných strukturách; dokončené nekonečné totality … odmítli, stejně jako nepřímý důkaz založený na zákonu vyloučeného středu. Nejradikálnější mezi konstruktivisty byli intuicionisté v čele s někdejším topologem L. E. J. Brouwerem (Dawson s. 49)

Rozporuplná debata pokračovala počátkem 20. let 20. století; v roce 1927 si Brouwer stěžoval na „polemizování proti ní v posměšných tónech“ (Brouwer in van Heijenoort, s. 492). Debata však byla plodná: vyústila v Principia Mathematica (1910-1913) a toto dílo podalo přesnou definici zákona vyloučeného středu, a to vše poskytlo intelektuální prostředí a nástroje potřebné pro matematiky počátku 20. století:

Z této řevnivosti a zčásti jí zplozené vzniklo několik důležitých logických objevů…. Zermelova axiomatizace teorie množin (1908a) … na kterou o dva roky později navázal první díl Principia Mathematica .. v němž Russell a Whitehead ukázali, jak lze prostřednictvím teorie typů rozvinout velkou část aritmetiky logickými prostředky (Dawson str. 49)

Brouwer omezil debatu na použití důkazů konstruovaných z „negativního“ či „neexistujícího“ versus „konstruktivního“ důkazu:

Podle Brouwera tvrzení, že existuje objekt, který má danou vlastnost, znamená, že existuje, a je dokázáno pouze tehdy, když je známa metoda, která alespoň v principu umožní takový objekt nalézt nebo zkonstruovat … Hilbert přirozeně nesouhlasil. „Čisté důkazy existence byly nejdůležitějšími mezníky v historickém vývoji naší vědy,“ tvrdil. (Reid s. 155) Brouwer … odmítal přijmout logický princip vyloučeného středu … Jeho argumentace byla následující: „Předpokládejme, že A je výrok „Existuje člen množiny S, který má vlastnost P“. Je-li množina konečná, je možné – v principu – zkoumat každý člen S a určit, zda existuje člen S s vlastností P, nebo že každý člen S nemá vlastnost P. Pro konečné množiny tedy Brouwer přijal princip vyloučeného středu jako platný. Pro nekonečné množiny jej odmítl přijmout, protože pokud je množina S nekonečná, nemůžeme – ani v principu – zkoumat každý její člen. Pokud v průběhu zkoumání najdeme člen množiny s vlastností P, je první alternativa zdůvodněna; pokud však takový člen nikdy nenajdeme, druhá alternativa stále není zdůvodněna. Vzhledem k tomu, že matematické věty se často dokazují tak, že zjistíme, že jejich negace by nás uvrhla do rozporu, tato třetí možnost, kterou Brouwer navrhl, by zpochybnila mnoho v současnosti přijímaných matematických tvrzení. „Odebrat matematikovi princip vyloučeného středu,“ řekl Hilbert, „je totéž jako … zakázat boxerovi používat pěsti“. „Nezdálo se, že by Weylovi případná prohra vadila…. Brouwerův program byl nadcházející věcí, zdůrazňoval svým přátelům v Curychu.“ (Reid, s. 149)}}.

Ve své přednášce v roce 1941 na Yaleově univerzitě a v následném článku Gödel navrhl řešení: „(Dawson, s. 157))

Gödelův přístup k zákonu vyloučeného středu spočíval v tvrzení, že námitky proti „používání ‚impredikativních definic'“ „mají větší váhu“ než „zákon vyloučeného středu a související věty výrokového kalkulu“ (Dawson, s. 156). Navrhl svůj „systém Σ … a v závěru se zmínil o několika aplikacích svého výkladu. Mezi nimi byl i důkaz konzistence principu ~ (∀A: (A ∨ ~A)) s intuicionistickou logikou (navzdory nekonzistenci předpokladu ∃ A: ~ (A ∨ ~A)“ (Dawson, s. 157)

Debata se zdála slábnout: Matematici, logici a inženýři nadále používají zákon vyloučeného středu (a dvojí negace) ve své každodenní práci.

Intuicionistické definice zákona (principu) vyloučeného středuEdit

Následující text poukazuje na hluboký matematický a filozofický problém, který se skrývá za tím, co znamená „vědět“, a také pomáhá objasnit, co „zákon“ implikuje (tj. co zákon skutečně znamená). Vyvstávají jejich potíže se zákonem: že nechtějí přijmout jako pravdivé důsledky vyvozené z toho, co je neověřitelné (netestovatelné, nepoznatelné), nebo z nemožného či nepravdivého. (Všechny citace jsou z van Heijenoorta, kurzíva doplněna).

Brouwer nabízí svou definici „principu vyloučeného středu“; vidíme zde i otázku „testovatelnosti“:

Na základě právě zmíněné testovatelnosti platí pro vlastnosti pojaté v rámci určitého konečného hlavního systému „princip vyloučeného středu“, tj. princip, že pro každý systém je každá vlastnost buď správná, nebo nemožná, a zejména princip reciprocity komplementárních druhů, tj. princip, že pro každý systém vyplývá správnost vlastnosti z nemožnosti nemožnosti této vlastnosti. (335)

Kolmogorovova definice cituje dva Hilbertovy axiomy negace

1. A → (~A → B)
2. (A → B) → { (~A → B) → B}

První Hilbertův axiom negace „cokoli vyplývá z nepravdivého“ se objevil až se vznikem symbolické logiky, stejně jako první axiom implikace…. zatímco … uvažovaný axiom tvrdí něco o důsledcích něčeho nemožného: musíme přijmout B, jestliže pravdivý úsudek A považujeme za nepravdivý … Druhý Hilbertův axiom negace vyjadřuje princip vyloučeného středu. Princip je zde vyjádřen v podobě, v jaké se používá pro odvozování: jestliže B vyplývá z A stejně jako z ~A, pak B je pravdivé. Jeho obvyklá forma „každý úsudek je buď pravdivý, nebo nepravdivý“ je ekvivalentní formě uvedené výše“. Z první interpretace negace, tj. ze zákazu považovat úsudek za pravdivý, nelze získat jistotu, že princip vyloučeného středu platí… Brouwer ukázal, že v případě takových transfinitních soudů nelze princip vyloučeného středu považovat za zřejmý pozn. pod čarou 9: „To je Leibnizova velmi jednoduchá formulace (viz Nouveaux Essais, IV,2). Formulace „A je buď B, nebo ne-B“ nemá s logikou soudů nic společného.“ Poznámka pod čarou č. 10: „Symbolicky se druhá forma vyjadřuje takto: A ∨ ~A

kde ∨ znamená „nebo“. Ekvivalence obou forem se snadno dokazuje (s. 421)

.