MCDM nebo MCDA jsou známé zkratky pro vícekriteriální rozhodování a vícekriteriální rozhodovací analýzu; k popularizaci zkratky přispěl Stanley Zionts svým článkem „MCDM – když ne římská číslice, tak co?“ z roku 1979, určeným pro podnikatelské publikum.

MCDM se zabývá strukturováním a řešením rozhodovacích a plánovacích problémů zahrnujících více kritérií. Účelem je podpořit rozhodovatele, kteří se s takovými problémy potýkají. Obvykle pro takové problémy neexistuje jedinečné optimální řešení a k rozlišení řešení je třeba využít preferencí rozhodovatelů.

„Řešení“ lze interpretovat různými způsoby. Může odpovídat výběru „nejlepší“ alternativy z množiny dostupných alternativ (přičemž „nejlepší“ lze interpretovat jako „nejvíce preferovanou alternativu“ rozhodovatele). Jiná interpretace „řešení“ by mohla znamenat výběr malé množiny dobrých alternativ nebo seskupení alternativ do různých preferenčních množin. Extrémní interpretací by mohlo být nalezení všech „efektivních“ nebo „nedominovaných“ alternativ (které brzy definujeme).

Obtížnost problému pramení z přítomnosti více než jednoho kritéria. Již neexistuje jedinečné optimální řešení problému MCDM, které by bylo možné získat bez zahrnutí informací o preferencích. Pojem optimálního řešení se často nahrazuje množinou nedominovaných řešení. Řešení se nazývá nedominované, pokud jej nelze zlepšit v žádném kritériu, aniž by bylo obětováno v jiném kritériu. Proto má pro rozhodovatele smysl vybrat řešení z nedominované množiny. V opačném případě by si mohl polepšit v některém nebo ve všech kritériích a v žádném z nich si nepolepšit. Obecně je však množina nedominovaných řešení příliš velká na to, aby byla rozhodovateli předložena ke konečnému výběru. Proto potřebujeme nástroje, které pomáhají rozhodovateli zaměřit se na preferovaná řešení (nebo alternativy). Obvykle je třeba „vyměnit“ některá kritéria za jiná.

MCDM je aktivní oblastí výzkumu od 70. let 20. století. Existuje několik organizací zabývajících se MCDM, včetně Mezinárodní společnosti pro vícekriteriální rozhodování, Euro Working Group on MCDA a INFORMS Section on MCDM. Historii naleznete zde: Köksalan, Wallenius a Zionts (2011).MCDM čerpá z poznatků mnoha oborů, mj:

• Matematika
• Rozhodovací analýza
• Ekonomika
• Výpočetní technika
• Softwarové inženýrství
• Informační systémy

TypologieEdit

Existují různé klasifikace problémů a metod MCDM. Hlavní rozlišení mezi problémy MCDM je založeno na tom, zda jsou řešení explicitně nebo implicitně definována.

• Problémy vícekriteriálního hodnocení: Tyto problémy se skládají z konečného počtu alternativ, které jsou explicitně známy na začátku procesu řešení. Každá alternativa je reprezentována svým výkonem ve více kritériích. Problém může být definován jako nalezení nejlepší alternativy pro rozhodovatele (DM) nebo nalezení množiny dobrých alternativ. Lze se také zajímat o „třídění“ nebo „klasifikaci“ alternativ. Třídění se týká zařazení alternativ do množiny preferenčně uspořádaných tříd (např. přiřazení ratingů zemím) a klasifikace se týká zařazení alternativ do neuspořádaných množin (např. diagnostikování pacientů na základě jejich příznaků). Některé z metod MCDM v této kategorii byly srovnávacím způsobem studovány v knize Triantaphyllou na toto téma, 2000.
• Vícekriteriální návrhové problémy (víceúčelové problémy matematického programování): V těchto problémech nejsou alternativy explicitně známy. Alternativu (řešení) lze nalézt řešením matematického modelu. Počet alternativ je buď nekonečný (spočitatelný nebo nespočitatelný), nebo konečný, ale obvykle exponenciálně velký (v počtu proměnných pohybujících se v konečných oblastech)

Ať už se jedná o problém hodnocení, nebo o problém návrhu, k rozlišení řešení jsou zapotřebí informace o preferencích DM. Metody řešení problémů MCDM se běžně klasifikují na základě načasování informací o preferencích získaných od DM.

Existují metody, které vyžadují informace o preferencích DM na začátku procesu, čímž se problém transformuje v podstatě na problém jednoho kritéria. O těchto metodách se říká, že pracují na základě „předchozí artikulace preferencí“. Metody založené na odhadu hodnotové funkce nebo využívající koncepci „převažujících vztahů“, analytický hierarchický proces a některé metody založené na rozhodovacích pravidlech se snaží řešit problémy hodnocení více kritérií s využitím předchozí artikulace preferencí. Podobně existují metody vyvinuté k řešení problémů vícekriteriálního návrhu s využitím předchozího vyjádření preferencí pomocí konstrukce hodnotové funkce. Snad nejznámější z těchto metod je programování cílů. Jakmile je hodnotová funkce zkonstruována, řeší se výsledný jednoúčelový matematický program s cílem získat preferované řešení.

Některé metody vyžadují informace o preferencích od DM v průběhu celého procesu řešení. Tyto metody se označují jako interaktivní metody nebo metody, které vyžadují „postupnou artikulaci preferencí“. Tyto metody byly dobře vyvinuty jak pro vícekriteriální hodnocení (viz například Geoffrion, Dyer a Feinberg, 1972, a Köksalan a Sagala, 1995 ), tak pro problémy navrhování (viz Steuer, 1986).

Vícekriteriální problémy navrhování obvykle vyžadují řešení řady modelů matematického programování s cílem odhalit implicitně definovaná řešení. U těchto problémů může být zajímavá také reprezentace nebo aproximace „efektivních řešení“. Tato kategorie se označuje jako „posteriorní artikulace preferencí“, což znamená, že zapojení DM začíná až po explicitním odhalení „zajímavých“ řešení (viz např. Karasakal a Köksalan, 2009).

Pokud modely matematického programování obsahují celočíselné proměnné, stává se řešení návrhových problémů obtížnější. Multiobjektivní kombinatorická optimalizace (MOCO) představuje zvláštní kategorii takových problémů, které představují značnou výpočetní obtížnost (přehled viz Ehrgott a Gandibleux, 2002).

Reprezentace a definiceUpravit

Problém MCDM lze reprezentovat v prostoru kritérií nebo v prostoru rozhodování. Alternativně, pokud jsou různá kritéria kombinována pomocí vážené lineární funkce, je možné problém reprezentovat také ve váhovém prostoru. Níže jsou uvedeny ukázky prostoru kritérií a váhového prostoru a některé formální definice.

Reprezentace v prostoru kritériíUpravit

Předpokládejme, že v konkrétní problémové situaci hodnotíme řešení pomocí několika kritérií. Dále předpokládejme, že v každém kritériu platí, že více je lépe. Pak nás mezi všemi možnými řešeními v ideálním případě zajímají ta řešení, která mají dobré výsledky ve všech uvažovaných kritériích. Je však nepravděpodobné, že bychom měli jediné řešení, které vykazuje dobré výsledky ve všech uvažovaných kritériích. Obvykle některá řešení dosahují dobrých výsledků v některých kritériích a některá v jiných. Nalezení způsobu obchodování mezi kritérii je jednou z hlavních snah v literatuře o MCDM.

Matematicky lze problém MCDM odpovídající výše uvedeným argumentům reprezentovat jako

„max“ q s výhradou q ∈ Q

kde q je vektor k kriteriálních funkcí (objektivních funkcí) a Q je proveditelná množina, Q ⊆ Rk.

Je-li Q definováno explicitně (množinou alternativ), nazývá se výsledný problém problémem vícekriteriálního hodnocení.

Je-li Q definováno implicitně (množinou omezení), nazývá se výsledný problém problémem vícekriteriálního návrhu.

Uvozovky se používají na znamení toho, že maximalizace vektoru není přesně definovaná matematická operace. To odpovídá tvrzení, že budeme muset najít způsob, jak vyřešit kompromis mezi kritérii (obvykle na základě preferencí rozhodovatele), když řešení, které by dobře splňovalo všechna kritéria, neexistuje.

Reprezentace rozhodovacího prostoruEdit

Rozhodovací prostor odpovídá množině možných rozhodnutí, která máme k dispozici. Hodnoty kritérií budou důsledky rozhodnutí, která učiníme. Proto můžeme v rozhodovacím prostoru definovat odpovídající problém. Například při návrhu výrobku rozhodujeme o parametrech návrhu (rozhodovacích proměnných), z nichž každý ovlivňuje míry výkonnosti (kritéria), kterými náš výrobek hodnotíme.

Matematicky lze problém vícekriteriálního návrhu reprezentovat v rozhodovacím prostoru takto:

max q = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) s podmínkou q ∈ Q = { f ( x ) : x ∈ X , X ⊆ R n } {\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{subject to}}\\q\in Q&=\{f(x):x\in X,\,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\}\end{aligned}}}}

kde X je proveditelná množina a x je vektor rozhodovací proměnné velikosti n.

Přehledný speciální případ získáme, když X je mnohostěn definovaný lineárními nerovnostmi a rovnostmi. Jsou-li všechny účelové funkce lineární z hlediska rozhodovacích proměnných, vede tato varianta k vícenásobnému účelovému lineárnímu programování (MOLP), které je důležitou podtřídou problémů MCDM.

Existuje několik definic, které jsou v MCDM stěžejní. Dvě úzce související definice jsou definice nedominance (definované na základě reprezentace prostoru kritérií) a definice efektivnosti (definované na základě reprezentace rozhodovacích proměnných).

Definice 1. Řešení q* ∈ Q je nedominované, pokud neexistuje jiné q ∈ Q takové, že q ≥ q* a q ≠ q*.

Hrubě řečeno, řešení je nedominované, pokud není horší než žádné jiné dostupné řešení ve všech uvažovaných kritériích.

Definice 2. x* ∈ X je efektivní, jestliže neexistuje jiné x ∈ X takové, že f(x) ≥ f(x*) a f(x) ≠ f(x*).

Pokud problém MCDM dobře reprezentuje rozhodovací situaci, pak nejpreferovanější řešení DM musí být efektivním řešením v rozhodovacím prostoru a jeho obrazem je nedominovaný bod v prostoru kritérií. Důležité jsou také následující definice.

Definice 3. q* ∈ Q je slabě nedominované, jestliže neexistuje jiné q ∈ Q takové, že q > q*.

Definice 4. q* ∈ Q je slabě nedominované, jestliže neexistuje jiné q ∈ Q takové, že q > q*.

Definice 5. q* ∈ Q je slabě nedominované. x* ∈ X je slabě efektivní, jestliže neexistuje jiné x ∈ X takové, že f(x) > f(x*).

Slabě nedominované body zahrnují všechny nedominované body a některé speciální dominované body. Význam těchto speciálních dominovaných bodů vyplývá z toho, že se běžně vyskytují v praxi a je třeba věnovat zvláštní pozornost jejich odlišení od nedominovaných bodů. Pokud například maximalizujeme jediný cíl, můžeme skončit se slabě nedominovaným bodem, který je dominantní. Dominované body slabě nedominované množiny se nacházejí buď na vertikálních, nebo horizontálních rovinách (hyperrovinách) v prostoru kritérií.

Ideální bod: (v prostoru kritérií) představuje nejlepší (maximum pro maximalizační úlohy a minimum pro minimalizační úlohy) každé účelové funkce a obvykle odpovídá nesplnitelnému řešení.

Nadir bod: (v prostoru kritérií) představuje nejhorší (minimum pro maximalizační problémy a maximum pro minimalizační problémy) každé účelové funkce mezi body v nedominované množině a obvykle odpovídá dominovanému bodu.

Ideální bod a nadir bod jsou užitečné pro DM, aby získal „pocit“ rozsahu řešení (i když není jednoduché najít nadir bod pro návrhové problémy, které mají více než dvě kritéria).

Ilustrace rozhodovacího a kriteriálního prostoruUpravit

Následující problém MOLP se dvěma proměnnými v rozhodovacím prostoru proměnných pomůže graficky demonstrovat některé klíčové pojmy.

Obrázek 1. Znázornění rozhodovacího a kriteriálního prostoru. Demonstrace rozhodovacího prostoru

max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 s podmínkou x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}\\\max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2}\\{text{podle}}\x_{1}&\leq 4\\x_{2}&\leq 4\x_{1}+x_{2}&\leq 7\\-x_{1}+x_{2}&\leq 3\\x_{1}-x_{2}&\leq 3\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

Na obrázku 1 krajní body „e“ a „b“ maximalizují první, resp. druhý cíl. Červená hranice mezi těmito dvěma krajními body představuje efektivní množinu. Z obrázku je patrné, že pro každé proveditelné řešení mimo efektivní množinu je možné zlepšit oba cíle o některé body na efektivní množině. Naopak pro libovolný bod na efektivní množině není možné zlepšit oba cíle přesunem do jiného proveditelného řešení. V těchto řešeních je třeba obětovat z jednoho z cílů, aby se zlepšil druhý cíl.

Výše uvedený problém lze vzhledem k jeho jednoduchosti reprezentovat v prostoru kritérií nahrazením x za f ‚s takto:

Obrázek 2. Demonstrace řešení v kriteriálním prostoru

Max f1 Max f2 s podmínkou f1 + 2f2 ≤ 12 2f1 + f2 ≤ 12 f1 + f2 ≤ 7 f1 – f2 ≤ 9 -f1 + f2 ≤ 9 f1 + 2f2 ≥ 0 2f1 + f2 ≥ 0

Kriteriální prostor graficky znázorníme na obrázku 2. V kriteriálním prostoru je snazší odhalit nedominované body (odpovídající efektivním řešením v rozhodovacím prostoru). Severovýchodní oblast proveditelného prostoru představuje množinu nedominovaných bodů (pro maximalizační úlohy).

Generování nedominovaných řešeníUpravit

Existuje několik způsobů generování nedominovaných řešení. Probereme dva z nich. První přístup může generovat speciální třídu nedominovaných řešení, zatímco druhý přístup může generovat libovolné nedominované řešení.

• Vážené součty (Gass & Saaty, 1955)

Sloučíme-li více kritérií do jediného kritéria tak, že každé kritérium vynásobíme kladnou váhou a vážená kritéria sečteme, pak řešení výsledného problému s jedním kritériem je speciální efektivní řešení. Tato speciální efektivní řešení se objevují v rohových bodech množiny dostupných řešení. Efektivní řešení, která se nenacházejí v rohových bodech, mají zvláštní vlastnosti a tato metoda není schopna takové body najít. Matematicky můžeme tuto situaci znázornit jako

max wT.q = wT.f(x), w> 0 s výhradou x ∈ X

Změnou vah lze použít vážené součty pro generování efektivních řešení krajních bodů pro návrhové problémy a podepřených (konvexních nedominovaných) bodů pro problémy hodnocení.

• Dosažení skalarizující funkce (Wierzbicki, 1980)

Obrázek 3. Obrázek 3: Skalarizující funkce. Promítání bodů do nedominované množiny pomocí skalarizační funkce úspěchu

Skalarizační funkce úspěchu také spojují více kritérií do jediného kritéria tím, že je váží velmi zvláštním způsobem. Vytvářejí pravoúhlé obrysy směřující od referenčního bodu k dostupným efektivním řešením. Tato speciální struktura umožňuje skalarizujícím funkcím úspěchu dosáhnout jakéhokoli efektivního řešení. To je mocná vlastnost, která činí tyto funkce velmi užitečnými pro problémy MCDM.

Matematicky můžeme odpovídající problém reprezentovat jako

Min s(g, q, w, ρ) = Min {maxi + ρ ∑i (gi – qi)}, s podmínkou q ∈ Q

Skalarizující funkci úspěchu lze použít k promítnutí libovolného bodu (proveditelného nebo neproveditelného) na efektivní hranici. Lze dosáhnout libovolného bodu (podporovaného nebo nepodporovaného). Druhý člen v účelové funkci je nutný k tomu, aby se zabránilo generování neefektivních řešení. Obrázek 3 ukazuje, jak se proveditelný bod g1 a neproveditelný bod g2 promítají na nedominované body q1 a q2 podél směru w pomocí skalarizující funkce dosažení. Čárkovaný a plný obrys odpovídají obrysům účelové funkce s druhým členem účelové funkce, resp. bez něj.

Řešení problémů MCDMUpravit

Pro řešení problémů MCDM (jak návrhového, tak vyhodnocovacího typu) se vyvinuly různé myšlenkové školy. Bibliometrickou studii ukazující jejich vývoj v čase viz Bragge, Korhonen, H. Wallenius a J. Wallenius .

Škola víceúčelového matematického programování

(1) Maximalizace vektorů: Účelem vektorové maximalizace je aproximace nedominované množiny; původně byla vyvinuta pro problémy víceúčelového lineárního programování (Evans a Steuer, 1973; Yu a Zeleny, 1975).

(2) Interaktivní programování: Fáze výpočtu se střídají s fázemi rozhodování (Benayoun a kol., 1971; Geoffrion, Dyer a Feinberg, 1972; Zionts a Wallenius, 1976; Korhonen a Wallenius, 1988). Nepředpokládá se explicitní znalost hodnotové funkce DM.

Škola programování cílů

Účelem je stanovit apriorní cílové hodnoty cílů a minimalizovat vážené odchylky od těchto cílů. Používají se jak váhy důležitosti, tak lexikografické preemptivní váhy (Charnes a Cooper, 1961).

Teoretici fuzzy množin

Fuzzy množiny zavedl Zadeh (1965) jako rozšíření klasického pojmu množin. Tato myšlenka se používá v mnoha algoritmech MCDM k modelování a řešení fuzzy problémů.

Teoretici užitku více atributů

Vyhledávají se užitkové nebo hodnotové funkce více atributů, které se používají k určení nejpreferovanější alternativy nebo k seřazení alternativ. Používají se propracované techniky rozhovorů, které existují pro elicitaci lineárních aditivních funkcí užitku a multiplikativních nelineárních funkcí užitku (Keeney a Raiffa, 1976).

Francouzská škola

Francouzská škola se zaměřuje na pomoc při rozhodování, zejména na rodinu metod přeřazování ELECTRE, která vznikla ve Francii v polovině 60. let. Metodu poprvé navrhl Bernard Roy (Roy, 1968).

Evoluční multiobjektivní optimalizační škola (EMO)

Algoritmy EMO začínají s počáteční populací a aktualizují ji pomocí procesů navržených tak, aby napodobovaly přirozené principy přežití nejsilnějšího a operátory genetické variace ke zlepšení průměrné populace od jedné generace ke druhé. Cílem je konvergovat k populaci řešení, která představují nedominovanou množinu (Schaffer, 1984; Srinivas a Deb, 1994). V poslední době se objevují snahy o začlenění informací o preferencích do procesu řešení algoritmů EMO (viz Deb a Köksalan, 2010).

Metody založené na teorii šedých systémů

V 80. letech 20. století navrhl Deng Julong teorii šedých systémů (GST) a její první model rozhodování podle více atributů, nazvaný Dengův model šedé relační analýzy (GRA). Později vědci zabývající se šedými systémy navrhli mnoho metod založených na GST, například model absolutního rozhodování GRA od Liu Sifenga, model šedého cílového rozhodování (GTDM) a model šedé absolutní rozhodovací analýzy (GADA).

Analytický hierarchický proces (AHP)

AHP nejprve rozkládá rozhodovací problém na hierarchii podproblémů. Poté rozhodovatel vyhodnocuje relativní důležitost jeho jednotlivých prvků pomocí párových porovnání. AHP převádí tato hodnocení na číselné hodnoty (váhy nebo priority), které se používají k výpočtu skóre pro každou alternativu (Saaty, 1980). Index konzistence měří, do jaké míry byl rozhodovatel ve svých odpovědích konzistentní. AHP je jednou z nejkontroverznějších zde uvedených technik, přičemž někteří výzkumníci z komunity MCDA ji považují za chybnou. Základní matematika je také složitější, ačkoli získala určitou popularitu v důsledku komerčně dostupného softwaru.

Několik článků se zabývalo použitím technik MCDM v různých oborech, jako je fuzzy MCDM, klasický MCDM, udržitelná a obnovitelná energie, technika VIKOR, dopravní systémy, kvalita služeb, metoda TOPSIS, problémy energetického managementu, e-learning, cestovní ruch a pohostinství, metody SWARA a WASPAS.

Metody MCDMEdit

K dispozici jsou následující metody MCDM, z nichž mnohé jsou implementovány specializovaným rozhodovacím softwarem:

• Metoda náhodného výběru agregovaných indexů (AIRM)
• Analytický hierarchický proces (AHP)
• Analytický síťový proces (ANP)
• Balanční paprskový proces
• Základ-criterion method (BCM)
• Best worst method (BWM)
• Brown-Gibson model
• Characteristic Objects METhod (COMET)
• Výběr podle výhodnosti (CBA)
• Conjoint Value Hierarchy (CVA)
• Data envelopment analysis
• Decision EXpert (DEX)
• Disaggregation – Aggregation Approaches (UTA*, UTAII, UTADIS)
• Hrubá množina (Rough set approach)
• Dominance-založený na hrubé množině (DRSA)
• ELECTRE (Outranking)
• Hodnocení založené na vzdálenosti od průměrného řešení (EDAS)
• Přístup založený na důkazním uvažování (ER)
• Programování cílů (Goal programming) (GP)
• Šedá relační analýza (GRA)
• Vnitřní součin vektorů (IPV)
• Měření atraktivity metodou hodnocení založenou na kategoriích (MACBETH)
• Jednoduché vícenásobné hodnocení (MACBETH)
• Měření atraktivity metodou hodnocení založenou na kategoriích (MACBETH)Attribute Rating Technique (SMART)
• Stratifikované vícekriteriální rozhodování (SMCDM)
• Globální odvození kvality podle více atributů (MAGIQ)
• Teorie užitku podle více atributů (MAUT)
• Multi-atributová teorie hodnoty (MAVT)
• Markovské vícekriteriální rozhodování
• Nový přístup k hodnocení (NATA)
• Nestrukturální fuzzy systém pro podporu rozhodování (NSFDSS)
• Potenciál All Pairwise RanKings of all possible Alternatives (PAPRIKA)
• PROMETHEE (Outranking)
• Ranking based on optimal points (RBOP)
• Stochastic Multicriteria Acceptability Analysis (stochastická multikriteriální analýza přijatelnosti) (SMAA)
• Metoda řazení podle nadřazenosti a podřazenosti (metoda SIR)
• Technika řazení podle podobnosti s ideálním řešením (TOPSIS)
• Hodnotová analýza (VA)
• . Hodnotové inženýrství (VE)
• Metoda VIKOR
• Model váženého produktu (WPM)
• Model váženého součtu (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)

.