Co je inženýrská teorie nosníků?

Konstrukční prvek nebo prut namáhaný silami a spřaženími podél podélné osy prutu. Prut se obvykle rozpíná mezi jednou nebo více podporami a jeho posouzení se obecně řídí ohybovými momenty.

Eulerova-Bernoulliho teorie nosníku

Eulerova-Bernoulliho rovnice popisuje vztah mezi působícím zatížením a výsledným průhybem nosníku a matematicky se znázorňuje jako:

Kde w je rozložené zatížení neboli síla na jednotku délky působící ve stejném směru jako y a průhyb nosníku Δ(x) v určité poloze x. E je modul pružnosti uvažovaného materiálu a I je druhý moment plochy vypočtený vzhledem k ose, která prochází středem průřezu a je kolmá na působící zatížení. Pokud se EI nebo ohybová tuhost podél nosníku nemění, pak se rovnice zjednoduší na:

Po určení průhybu způsobeného daným zatížením lze napětí v nosníku vypočítat pomocí následujících výrazů:

Ohybový moment v nosníku:

Smyková síla v nosníku:

Přípoje a reakce podpor

Při řešení nosníků se běžně setkáváme se čtyřmi různými typy přípojů a každý z nich určuje typ zatížení, kterému může podpora odolat, a také celkovou únosnost nejen uvažovaného prutu, ale také systému, jehož je prut součástí.

Válečkové podpory: mohou se volně otáčet a překládat podél plochy, na níž válec spočívá, a v důsledku toho nejsou schopny odolávat bočním silám. Takové podpory jsou vystaveny jediné reakční síle působící kolmo k povrchu a směrem od něj.

Kolíkové podpory: umožňují otáčení prutu nebo nosníku (někdy pouze v jednom směru), ale nepřekládají se v žádném směru, to znamená, že mohou odolávat svislým i vodorovným silám, ale ne ohybovým momentům.

Pevné podpory: brání otáčení i překladu a odolávají jak svislým a vodorovným silám, tak ohybovým momentům.

Prosté podpory: mohou se volně otáčet a překládat podél plochy, na které spočívají, ve všech směrech, ale kolmo na plochu a od plochy. Jednoduché podpory se od válečkových podpor liší tím, že nemohou odolávat příčným zatížením jakékoli velikosti.

Typy nosníků

Jednoduše podepřený nosník: volně podepřený na každém konci se prut může volně otáčet v koncových nosných bodech a nemá žádnou odolnost proti ohybovým momentům. Koncové podpory nosníku jsou schopny působit na nosník silami, ale při průhybu prutu při jakémkoliv zatížení se budou otáčet.

Pevně uložený nosník: podepřený na každém konci prutu, koncové body jsou omezeny v otáčení a pohybu ve svislém i vodorovném směru.

Koncový nosník: prut upevněný pouze na jednom konci, přičemž druhý konec se může volně otáčet a pohybovat ve svislém i vodorovném směru.

Převislý: prostý nosník, který na jednom nebo obou koncích přesahuje své podpory.

Souvislý: nosník přesahující přes více než dvě podpory.

Přesnost inženýrské teorie nosníků

Vzhledem k předpokladům platí obecné pravidlo, že pro většinu konfigurací jsou rovnice pro ohybové napětí a příčné smykové napětí přesné s přesností přibližně 3 % pro nosníky s poměrem délky k výšce větším než 4. V případě nosníků s poměrem délky k výšce je přesnost rovnic pro ohybové napětí větší než 3 %. Konzervativní povaha návrhu konstrukce (součinitelé zatížení) ve většině případů tyto nepřesnosti kompenzuje. je také důležité pochopit a zohlednit typ materiálu/materiálů, z nichž je nosník složen, způsob deformace nosníku, geometrii nosníku včetně plochy průřezu a přítomné vnitřní rovnováhy.

Předpoklady a omezení

• Průřez nosníku se uvažuje malý v porovnání s jeho délkou, což znamená, že nosník je dlouhý a tenký.
• Zatížení působí příčně k podélné ose a prochází středem smyku, čímž se eliminuje jakékoli kroucení nebo kroucení.
• Vlastní tíha nosníku byla zanedbána a měla by být v praxi zohledněna.
• Materiál nosníku je homogenní a izotropní a má konstantní Youngův modul ve všech směrech v tlaku i v tahu.
• Středová rovina nebo neutrální plocha je vystavena nulovému osovému napětí a nepodléhá žádné změně délky.
• Odezva na deformaci je jednorozměrné napětí ve směru ohybu.
• Předpokládá se, že průhyby jsou ve srovnání s celkovou délkou nosníku velmi malé.
• Příčný průřez zůstává při ohybu rovinný a kolmý k podélné ose.
• Nosník je zpočátku přímý a jakýkoliv jeho průhyb sleduje kruhový oblouk, přičemž se předpokládá, že poloměr zakřivení zůstává velký ve srovnání s rozměrem průřezu.

Zakřivené nosníky a oblouky

Přestože posouzení zakřivených nosníků je totožné s posouzením přímých nosníků, pokud jsou rozměry průřezu malé ve srovnání s poloměrem zakřivení, hlavní rozdíl mezi zakřivenými nosníky a oblouky spočívá v tom, že zakřivení bylo zvětšeno do té míry, že se u oblouků stávají významné osové síly.

Poznámka k ohybovým momentům

V konstrukčním inženýrství se kladný moment kreslí na tahové straně prutu, což umožňuje snadnější řešení nosníků a rámů. Protože se momenty kreslí ve stejném směru, v jakém by se prut teoreticky ohýbal při zatížení, je snazší si představit, co se děje. StructX převzal tento způsob kreslení ohybových momentů v celém textu.

Výběr rovnic pro nosníky spolu s příslušnými inženýrskými kalkulačkami naleznete zde.