Na počátku dvacátého století patřila univerzita v Göttingenu mezi špičková světová centra matematického výzkumu. Matematik David Hilbert zde byl uznávaným profesorem a v zimním semestru 1924-25 přednesl sérii přednášek o nekonečnu v matematice, fyzice a astronomii. (Tyto a další Hilbertovy přednášky nyní vyšly knižně v nakladatelství Springer-Verlag. Kniha je k dispozici v knihovně IAS v překladu i v německém originále). V jedné z těchto přednášek na příkladu vysvětlil zásadní rozdíl mezi konečnými a nekonečnými množinami: v hotelu s konečným počtem pokojů, pokud jsou všechny pokoje obsazeny, pak není místo pro nové hosty. V hotelu s nekonečně mnoha pokoji to však není problém: pokud jsou všechny pokoje obsazeny a přijde nový host, stačí každého starého hosta přesunout o jeden pokoj dál a první pokoj zůstane volný pro nově příchozího hosta. Podobný argument nám umožňuje ubytovat libovolný konečný počet, a dokonce i nekonečně mnoho nově příchozích hostů.

George Gamow (ze slavné autorské práce Alpher-Bethe-Gamow v oblasti fyzikální kosmologie) byl několik let po těchto přednáškách letním postdoktorandem na univerzitě v Göttingenu a pravděpodobně se tam dozvěděl o Hilbertově příkladu nekonečného hotelu. Ten jej zpopularizoval ve své populárně-naučné knize z roku 1947 s názvem Jedna dva tři… nekonečno: Vraťme se k Hilbertovu hotelu: Fakta a spekulace vědy (dostupná v knihovně Princetonské univerzity).

Vraťme se k Hilbertovu hotelu. Pro pořádek řekněme, že nekonečně mnoho hotelových pokojů má čísla 1, 2, 3, 4, 5, … . Jedné noci jsou všechny obsazené, ale přijde nový host. Jak jsme již řekli, jednoduše přesuneme hosta z pokoje 1 do pokoje 2, hosta z pokoje 2 do pokoje 3, hosta z pokoje 3 do pokoje 4 a obecně hosta z pokoje n do pokoje n + 1, čímž vznikne volné místo v pokoji 1 pro nového hosta, ale žádný z původních hostů nezůstane bez domova.

Teď řekněme, že přijede dvacet nových hostů místo jednoho. Stejně dobře funguje i dříve použitý trik: přesuňte hosta z pokoje 1 do pokoje 21, hosta z pokoje 2 do pokoje 22 a obecně hosta z pokoje n do pokoje n + 20. V takovém případě se host z pokoje n přesune do pokoje n + 20. Tím zůstane dvacet pokojů volných a připravených pro dvacet nových hostů.

Ale co když na palubu nekonečného autobusu přijede nekonečně mnoho nových hostů? Předchozí argument můžeme upravit tak, aby fungoval i pro tuto situaci: rozmístíme hosty, kteří již v hotelu jsou, tak, aby obsadili pouze každý druhý pokoj. Matematicky řečeno, přesuňte hosta z pokoje n do pokoje 2n tak, aby byly obsazeny všechny sudé pokoje. Tím zůstane každý další pokoj (nekonečně mnoho!) volný a připravený ubytovat (nekonečně mnoho!) lidí přijíždějících autobusem. Osoba sedící na sedadle číslo n v autobusu by se měla přesunout do n-té liché místnosti, což je místnost číslo 2n – 1.

Co když přijede devadesát devět nekonečných autobusů? Stačí přesunout původní hotelové hosty do pokojů 100, 200, 300 atd. a cestující prvního autobusu do pokojů 1, 101, 201 atd. a cestující druhého autobusu do pokojů 2, 102, 202 atd. a tak dále pro ostatní autobusy. Tím se obsadí všechny pokoje v hotelu a zároveň nezůstane žádný host bez pokoje. Pokud by cestující v autobusech byli sami očíslováni 1, 2, 3, 4, 5, …. (a nerozlišujme a nazývejme cestujícími i původní hosty hotelu – můžeme si to představit jako přesun všech původních hostů z hotelu do ozdobného autobusu zaparkovaného přímo před hotelem, který můžeme nazvat autobusem číslo 0), pak bychom viděli, že prvních sto pokojů hotelu je zaplněno cestujícími číslo 1, druhých sto pokojů hotelu je zaplněno cestujícími číslo 2 atd.

Další úroveň se zabývá nekonečně mnoha nekonečnými autobusy (každý autobus s nekonečně mnoha cestujícími). Nejdříve je třeba všechny dostat z hotelu a z autobusů a uspořádat je do mřížky na parkovišti nebo na papíře: nechte původní hosty hotelu (tj. cestující autobusu 0) seřadit do řady zleva doprava a vytvořit řadu. Ať cestující z prvního autobusu vytvoří další řadu hned pod ním a cestující z druhého autobusu řadu pod ním atd. Řady se seřadí tak, aby se cestující z každého autobusu s číslem 1 seřadili do sloupce, cestující s číslem 2 do sloupce napravo od něj atd. Pokud nyní začneme plnit hotelové pokoje 1, 2, 3, 4, … lidmi z první řady, nikdy ji nedokončíme a přejdeme do druhé řady, a podobně, pokud se pokusíme začít s prvním sloupcem. Trik spočívá v tom, že si na mřížce představíme diagonální čáry vedoucí zleva dolů do prava nahoru. Nejlevější z těchto diagonálních čar zasahuje pouze jednu osobu vlevo nahoře (autobus 0, cestující 1): umístěte tuto osobu do místnosti 1. Další diagonální čára zasahuje dvě osoby (autobus 1, cestující 1 a autobus 0, cestující 2): umístěte tyto dvě osoby do místností 2 a 3. Další diagonální čára narazí na tři osoby: umístěte je do dalších tří prázdných místností 4, 5, 6. Pokračováním tohoto vzoru nakonec přiřadíme místnost každému z lidí trpělivě postávajících na parkovišti.

Můžeme jít hlouběji do nekonečna, hlouběji než nekonečně mnoho nekonečných autobusů? Ano, můžeme: představme si, že hned vedle Hilbertova hotelu je parkoviště. V prvním patře, hned vedle hotelových dveří, stojí naše již známé nekonečně mnoho nekonečných autobusů. Pak si ale všimneme: garáž má nekonečně mnoho pater, v každém je nekonečně mnoho nekonečných autobusů. Dokáže si Hilbertův hotel poradit s touto přidanou vrstvou nekonečna? Odpověď zní ano! Můžete si představit, že pomocí předchozí metody vytvoříte v každém patře garáže jeden soubor cestujících a pak každému jednotlivému souboru řeknete, aby nastoupil do jednoho nekonečného autobusu. Nyní jsme problém zredukovali zpět na nekonečně mnoho nekonečných autobusů, o kterých víme, že se do hotelu vejdou.

Co když přidáme další vrstvu nekonečna? Například pokud existuje nekonečně mnoho garáží, každá s nekonečně mnoha patry, každé patro s nekonečně mnoha autobusy, každý autobus s nekonečně mnoha cestujícími? To jsou čtyři vrstvy nekonečna a odpověď je stále ano! Ve skutečnosti je odpověď ano i pro čtyři tisíce vrstev nekonečna. Zastaví se to někdy? Přestane někdy Hilbertův hotel přijímat nové hosty? Existuje nekonečno, které je pro Hilbertův hotel příliš velké?“

Ano, existuje. Kdybychom totiž měli nekonečně mnoho vrstev nekonečna, všechny tyto lidi by Hilbertův hotel nemohl pojmout. Takže …co se děje? Ukazuje se, že všechna popsaná nekonečna až po toto poslední jsou stejně velká. Tato velikost se nazývá ℵ0 (alef nula), což je velikost množiny ℕ = {1, 2, 3, 4, . . .} a kolik je v Hilbertově hotelu pokojů. Byl to Georg Cantor, kdo v roce 1874 zavedl myšlenku, jak porovnávat velikosti nekonečen, a ukázal, že existují nekonečna různých velikostí. Několik významných matematiků (Poincaré, Kronecker a později Weyl) se proti jeho myšlenkám ostře postavilo, stejně jako někteří teologové – ti tvrdili, že Cantorovy myšlenky zpochybňují jedinečnost absolutní nekonečnosti Boha. Hilbert naopak Cantora podporoval a obhajoval.

Srovnávání velikostí nekonečných množin se od srovnávání velikostí konečných množin příliš neliší: chceme-li zjistit, zda je v přednáškové místnosti více židlí nebo více lidí, nemusíme počítat lidi a židle a obě čísla porovnávat. Stačí se podívat do místnosti a zjistit, zda jsou v ní prázdné židle (více židlí než lidí) nebo lidé, kteří zůstali stát (více lidí než židlí): pokud každý člověk sedí na židli a nejsou tam žádné prázdné židle, pak množina židlí a množina lidí jsou stejně velké. Podobně pokud každý cestující v autobusech dostane přidělený pokoj v Hilbertově hotelu a žádný pokoj nezůstane prázdný, pak množina cestujících je nekonečno stejné velikosti jako množina pokojů v Hilbertově hotelu, ℵ0. Cantor tuto myšlenku použil, aby ukázal, že množina reálných čísel, ℝ, je striktně větší než množina přirozených čísel, ℕ; jeho krásný argument se stal známým jako „Cantorova diagonála“. Cantor také vyslovil domněnku – a pokusil se ji dokázat, ale neuspěl – o hypotéze kontinua: že neexistuje nekonečná množina striktně větší než ℕ, ale striktně menší než ℝ. Hilbert zařadil důkaz pravdivosti či nepravdivosti tohoto tvrzení jako první problém na slavný seznam třiadvaceti problémů, který předložil na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 a který měl určovat směr matematického výzkumu na další desetiletí. Odpověď zní, že nelze dokázat, že tato hypotéza je nepravdivá (Gödel, 40. léta 20. století), ale také nelze dokázat, že je pravdivá (Cohen, 60. léta 20. století): jedná se o nerozhodnutelný problém!“

Hilbert o Cantorových myšlenkách o nekonečnu a o celé nové matematice, kterou přinesly, slavně prohlásil: „Nikdo nás nevyžene z ráje, který Cantor vytvořil.“

.