V případě Gaussovy eliminace algoritmus vyžaduje, aby otočné prvky nebyly nulové.V případě nulového otočného prvku je nutná výměna řádků nebo sloupců. Níže uvedený systém vyžaduje pro provedení eliminace záměnu řádků 2 a 3.

{\displaystyle \left}

Systém, který je výsledkem otočení, je následující a umožní eliminačnímu algoritmu a zpětné substituci získat řešení systému.

{\displaystyle \left}

Při Gaussově eliminaci je navíc obecně žádoucí zvolit pivotní prvek s velkou absolutní hodnotou. To zlepšuje numerickou stabilitu. Následující soustava je při Gaussově eliminaci a zpětné substituci dramaticky ovlivněna zaokrouhlovací chybou.

{\displaystyle \left}

Tato soustava má přesné řešení x1 = 10,00 a x2 = 1,000, ale při provedení eliminačního algoritmu a zpětné substituce pomocí čtyřmístné aritmetiky způsobuje malá hodnota a11 šíření malých zaokrouhlovacích chyb. Algoritmus bez otočení dává aproximaci x1 ≈ 9873,3 a x2 ≈ 4. V tomto případě je žádoucí, abychom zaměnili oba řádky tak, aby a21 bylo v pozici pivotu

. {\displaystyle \left.}