Operátor (matematika)

Zář 22, 2021

admin

GeometrieUpravit

Hlavní články: obecná lineární grupa a izometrie

V geometrii se někdy studují další struktury na vektorových prostorech. Operátory, které takové vektorové prostory bijektivně mapují samy na sebe, jsou při těchto studiích velmi užitečné, přirozeně tvoří grupy kompozicí.

Například bijektivní operátory zachovávající strukturu vektorového prostoru jsou právě inverzní lineární operátory. Ty tvoří obecnou lineární grupu podle kompozice. Netvoří vektorový prostor při sčítání operátorů, např. operátory id i -id jsou invertibilní (bijektivní), ale jejich součet, 0, není.

Operátory zachovávající euklidovskou metriku na takovém prostoru tvoří grupu izometrie a ty, které fixují počátek, tvoří podgrupu známou jako ortogonální grupa. Operátory v ortogonální grupě, které zároveň zachovávají orientaci vektorových soustav, tvoří speciální ortogonální grupu neboli grupu rotací.

Teorie pravděpodobnostiUpravit

Hlavní článek: Teorie pravděpodobnosti

Teorie pravděpodobnosti se zabývá také operátory, jako je očekávání, rozptyl a kovariance. Každá kovariance je totiž v podstatě tečkovým součinem; každá variance je tečkovým součinem vektoru se sebou samým, a je tedy kvadratickou normou; každá směrodatná odchylka je normou (druhou odmocninou kvadratické normy); odpovídající kosinus k tomuto tečkovému součinu je Pearsonův korelační koeficient; očekávaná hodnota je v podstatě integrální operátor (používá se k měření vážených tvarů v prostoru).

KalkulEdit

Hlavní články: diferenciální operátor a integrální operátor

Z hlediska funkcionální analýzy se v kalkulu studují dva lineární operátory: diferenciální operátor d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}. }{\mathrm {d} t}}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, a Volterrův operátor ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}.

$\int_0^t$

Fourierova řada a Fourierova transformaceUpravit

Hlavní články: Fourierova řada a Fourierova transformace

Fourierova transformace je užitečná v aplikované matematice, zejména ve fyzice a zpracování signálů. Je to další integrální operátor; je užitečný především proto, že převádí funkci v jedné (časové) oblasti na funkci v jiné (frekvenční) oblasti, a to způsobem, který je efektivně inverzní. Neztrácí se žádná informace, protože existuje operátor inverzní transformace. V jednoduchém případě periodických funkcí je tento výsledek založen na tvrzení, že každou spojitou periodickou funkci lze reprezentovat jako součet řady sinusových a kosinusových vln:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } }.$

Tupel (a0, a1, b1, a2, b2, …) je ve skutečnosti prvkem nekonečně rozměrného vektorového prostoru ℓ2, a Fourierova řada je tedy lineární operátor.

Při práci s obecnou funkcí R → C nabývá transformace integrálního tvaru:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}.

$f(t) = {1 \nad \sqrt{2 \pi}}. \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Laplaceova transformaceEdit

Hlavní článek: Laplaceova transformace

Laplaceova transformace je další integrální operátor a podílí se na zjednodušení procesu řešení diferenciálních rovnic.

Při f = f(s) je definována takto:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t)\,dt.$

Základní operátory skalárních a vektorových políUpravit

Hlavní články: vektorový kalkul, vektorové pole, skalární pole, gradient, divergence a curl

Pro vektorový kalkul jsou klíčové tři operátory:

Grad (gradient), (se symbolem operátoru ∇ {\displaystyle \nabla }
$\nabla$

) přiřadí v každém bodě skalárního pole vektor, který ukazuje ve směru největší rychlosti změny tohoto pole a jehož norma měří absolutní hodnotu této největší rychlosti změny.
Div (divergence), (se symbolem operátoru ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) je vektorový operátor, který měří divergenci vektorového pole od daného bodu nebo konvergenci k němu.
Curl, (se symbolem operátoru ∇ × {displaystyle \nabla \times } ) je vektorový operátor, který měří divergenci vektorového pole od daného bodu nebo konvergenci k němu.
Curl, (se symbolem operátoru ∇ × {displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) je vektorový operátor, který měří trend stáčení (vinutí, otáčení) vektorového pole kolem daného bodu.

Jako rozšíření operátorů vektorového kalkulu na fyziku, techniku a tenzorové prostory jsou operátory Grad, Div a Curl také často spojovány s tenzorovým i vektorovým kalkulem.