Matematika
Inspirace, čistá, aplikovaná matematika a estetikaEdit
Je docela možné, že umění počítat se vyvinulo ještě dříve než psaní a týkalo se především účetnictví a správy majetku, obchodu, v geodézii a později v astronomii.
Dnes všechny vědy přispívají k řešení problémů, které matematici studují, a zároveň se v samotné matematice objevují nové problémy. Například fyzik Richard Feynman navrhl jako základ kvantové mechaniky integrál cesty, který kombinuje matematické uvažování a fyzikální přístup, ale plně uspokojivé definice z matematického hlediska dosud nebylo dosaženo. Podobně teorie strun, rozvíjející se vědecká teorie, která se pokouší sjednotit čtyři základní síly fyziky, nadále inspiruje většinu moderní matematiky.
Některá matematika je relevantní pouze pro oblast, v níž byla inspirována, a je aplikována na další problémy v této oblasti. Často se však stává, že matematika inspirovaná určitou oblastí je užitečná v mnoha oborech a je zahrnuta do přijatých obecných matematických pojmů. Pozoruhodný fakt, že i ta nejčistší matematika má obvykle praktické aplikace, definoval Eugene Wigner jako „nepřiměřenou účinnost matematiky v přírodních vědách“.
Stejně jako ve většině oblastí studia vedla exploze znalostí ve vědeckém věku ke specializaci matematiky. Existuje důležitý rozdíl mezi čistou a aplikovanou matematikou. Většina výzkumných matematiků se zaměřuje pouze na jednu z těchto oblastí a někdy se rozhoduje již při zahájení studia. Některé oblasti aplikované matematiky se spojily s jinými obory, které tradičně nepatří do matematiky, a staly se samostatnými disciplínami, jako je statistika, operační výzkum nebo informatika.
Ti, kdo mají zálibu v matematice, zjišťují, že převažuje estetický aspekt, který definuje většinu matematiky. Mnoho matematiků hovoří o eleganci matematiky, její vnitřní estetice a vnitřní kráse. Obecně je jedním z jeho nejcennějších aspektů jeho jednoduchost. Krása spočívá v jednoduchém a přesvědčivém důkazu, jako je Euklidův důkaz existence nekonečně mnoha prvočísel, a v elegantní numerické analýze, která urychluje výpočet, stejně jako v rychlé Fourierově transformaci. G. H. Hardy v knize A Mathematician’s Apology vyjádřil přesvědčení, že tato estetická hlediska jsou sama o sobě dostatečným důvodem pro studium čisté matematiky. Matematici se často snaží najít důkazy tvrzení, které jsou obzvláště elegantní, excentrický matematik Paul Erdős tuto skutečnost označil za hledání důkazů „Knihy“, do které Bůh napsal své oblíbené důkazy. Obliba rekreační matematiky je další známkou potěšení z řešení matematických otázek.
Notace, jazyk a přísnostEdit
Většina dnes používaných matematických zápisů byla vynalezena až v 18. století. Dříve se matematika psala slovy, což byl náročný proces, který omezoval matematický pokrok. Euler byl v 18. století autorem mnoha dnes používaných zápisů. Moderní notace usnadňuje matematiku profesionálům, ale komplikuje ji začátečníkům. Notace omezuje matematiku na minimum, takže některé symboly obsahují velké množství informací. Podobně jako hudební notace má i moderní matematická notace přísnou syntaxi a kóduje informace, které by jinak bylo obtížné zapsat.
Matematický jazyk může být obtížný i pro začátečníky. Slova jako nebo a pouze mají přesnější význam než v běžném jazyce. Slova jako open a body mají navíc velmi specifický matematický význam. Matematický žargon nebo matematický jazyk zahrnuje technické termíny, jako je homeomorfismus nebo integrovatelnost. Důvodem potřeby používat notaci a žargon je skutečnost, že matematický jazyk vyžaduje větší přesnost než běžný jazyk. Matematici tuto přesnost v jazyce a logice označují jako „přísnost“.
Přísnost je nezbytnou podmínkou, kterou musí mít matematický důkaz. Matematici chtějí, aby se jejich věty z axiomů řídily systematickým uvažováním. To slouží k tomu, abychom se vyhnuli chybným tvrzením založeným na omylných intuicích, k nimž v historii této vědy již několikrát došlo. Úroveň přísnosti očekávané v matematice se v průběhu času měnila: Řekové se snažili o podrobné argumenty, ale v době Isaaca Newtona byly používané metody méně přísné. Problémy spojené s definicemi, které Newton používal, vedly v 19. století k oživení pečlivé analýzy a oficiálních demonstrací. Nyní se matematici nadále podporují počítačovými demonstracemi.
Axiom je tradičně interpretován jako „samozřejmá pravda“, ale toto pojetí je problematické. Ve formální oblasti není axiom nic jiného než řetězec symbolů, který má vlastní význam pouze v kontextu všech formulí odvozených z axiomatického systému.
Matematika jako vědaEdit
Carl Friedrich Gauss označil matematiku za „královnu věd“. Jak v latinském originále Scientiārum Regīna, tak v německém Königin der Wissenschaften je třeba slovo věda vykládat jako (obor) vědění. Pokud je věda považována za studium fyzikálního světa, pak matematika, nebo alespoň čistá matematika, není vědou.
Mnoho filozofů se domnívá, že matematika není experimentálně falzifikovatelná, a tudíž není vědou podle definice Karla Poppera. Ve 30. letech 20. století však významné práce v oblasti matematické logiky ukázaly, že matematiku nelze redukovat na logiku, a Karl Popper dospěl k závěru, že „většina matematických teorií je stejně jako teorie fyziky a biologie hypoteticko-deduktivní. Tím se čistá matematika přiblížila přírodním vědám, jejichž hypotézy jsou domněnkami, jako tomu bylo doposud.“ Jiní myslitelé, zejména Imre Lakatos, volali po verzi falzifikacionismu pro samotnou matematiku.
Alternativním názorem je, že některé vědní obory (například teoretická fyzika) jsou matematikou s axiomy, které mají odpovídat realitě. Teoretický fyzik J. M. Ziman navrhuje, že věda je „veřejné vědění“, a proto zahrnuje i matematiku. V každém případě má matematika mnoho společného s mnoha oblastmi fyzikálních věd, zejména se zkoumáním logických důsledků hypotéz. Intuice a experimentování hrají důležitou roli také při formulování domněnek v matematice a dalších vědách. Experimentální matematika má v matematice stále větší zastoupení. Výpočet a simulace hrají stále větší roli jak ve vědě, tak v matematice, což zmírňuje námitku, že matematika nevyužívá vědecké metody. V roce 2002 Stephen Wolfram ve své knize A New Kind of Science (Nový druh vědy) tvrdí, že výpočetní matematika si zaslouží být zkoumána empiricky jako vědní obor.
Názory matematiků na tuto otázku se velmi různí. Mnozí matematici se domnívají, že nazývat svůj obor vědou znamená snižovat význam jeho estetického profilu a popírat jeho historii v rámci sedmi svobodných umění. Jiní se domnívají, že ignorovat její spojení s přírodními vědami znamená ignorovat zřejmou souvislost mezi matematikou a jejími aplikacemi ve vědě a technice, což výrazně podpořilo rozvoj matematiky. Další diskutovanou otázkou, která do jisté míry souvisí s předchozí, je, zda byla matematika vytvořena (jako umění), nebo objevena (jako věda). To je jedna z mnoha otázek, které se týkají filozofie matematiky.
Matematické ceny jsou obecně odděleny od jejich ekvivalentů ve vědě. Nejprestižnější matematická cena, Fieldsova medaile, byla založena v roce 1936 a uděluje se každé čtyři roky. Často je považována za obdobu Nobelovy ceny za vědu. Dalšími cenami jsou Wolfova cena za matematiku, která byla udělena v roce 1978 a oceňuje celoživotní výsledky matematiků, a Abelova cena, další významná mezinárodní cena, která byla zavedena v roce 2003. Poslední dvě jsou udělovány za vynikající práci, která může být průkopnickým výzkumem nebo řešením vynikajícího problému v daném oboru. Slavný seznam těchto 23 nevyřešených problémů, nazývaný „Hilbertovy problémy“, sestavil v roce 1900 německý matematik David Hilbert. Tento seznam se stal mezi matematiky velmi populární a nejméně devět z problémů již bylo vyřešeno. V roce 2000 byl zveřejněn nový seznam sedmi základních problémů nazvaný „Problémy tisíciletí“. Řešení každého z problémů bude odměněno částkou 1 milion dolarů. Zajímavé je, že v obou seznamech se objevuje pouze jedna (Riemannova hypotéza).