Hlavní článek: Poincaréova domněnka

Hlavní článek: V listopadu 2002 zveřejnil Perelman na arXivu první ze tří preprintů, v nichž tvrdil, že nastínil důkaz geometrizační domněnky, jejímž je Poincarého domněnka zvláštním případem. V roce 2003 následovaly další dva preprinty.

Perelman upravil program Richarda S. Hamiltona pro důkaz domněnky. Ústřední myšlenkou je pojem Ricciho toku. Hamiltonova základní myšlenka spočívá ve formulaci „dynamického procesu“, v němž je daný trojrozměr geometricky deformován, přičemž proces deformace se řídí diferenciální rovnicí analogickou rovnici tepla. Tepelná rovnice (která mnohem dříve motivovala Riemanna k vyslovení jeho Riemannovy hypotézy o nulách zeta funkce) popisuje chování skalárních veličin, jako je teplota. Zajišťuje, že koncentrace zvýšené teploty se budou šířit, dokud nebude dosaženo rovnoměrné teploty v celém objektu. Podobně Ricciho tok popisuje chování tenzorové veličiny, Ricciho tenzoru křivosti. Hamilton doufal, že v rámci Ricciho toku se koncentrace velké křivosti budou rozprostírat, dokud nebude dosaženo rovnoměrné křivosti v celém trojúhelníku. V takovém případě, pokud začneme s libovolným trojčlenem a necháme Ricciho tok proběhnout, pak bychom v principu měli nakonec získat jakousi „normální formu“. Podle Williama Thurstona musí tato normální forma nabývat jedné z malého počtu možností, z nichž každá má jiný druh geometrie, nazývané Thurstonovy modelové geometrie.

Všeobecně se však očekávalo, že tento proces bude brzděn vývojem „singularit“. V 90. letech 20. století Hamilton pokročil v pochopení možných typů singularit, které se mohou vyskytnout, ale nebyl schopen poskytnout jejich komplexní popis. Perelmanovy články načrtly řešení. Podle Perelmana vypadá každá singularita buď jako válec hroutící se do své osy, nebo jako koule hroutící se do svého středu. Na základě tohoto poznatku dokázal zkonstruovat modifikaci standardního Ricciho toku, tzv. ricciho tok s operací, který dokáže systematicky a kontrolovaně vyřezávat singulární oblasti v průběhu jejich vývoje. Myšlenka Ricciho toku s operací existovala již od článku Hamiltona z roku 1993, který ji v roce 1997 úspěšně realizoval v prostředí prostorů vyšších dimenzí za určitých omezených geometrických podmínek. Perelmanův postup operace byl v podstatě podobný Hamiltonovu, ale nápadně se lišil po technické stránce.

Perelman ukázal, že každá singularita, která se vyvine v konečném čase, je v podstatě „štípnutím“ podél určitých sfér odpovídajících prvotnímu rozkladu 3-manifoldu. Navíc jakékoli singularity „v nekonečném čase“ vyplývají z určitých kolabujících kousků rozkladu JSJ. Perelmanova práce toto tvrzení dokazuje a tím dokazuje geometrizační domněnku.

Obsah tří článků je shrnut níže:

• První preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, poskytuje mnoho nových technik při studiu Ricciho toku, jehož hlavním výsledkem je věta poskytující kvantitativní charakterizaci oblastí toku s vysokou křivostí.
• Druhý preprint, Ricciho tok s chirurgií na trojčlenkách, opravuje některá nesprávná tvrzení prvního článku a doplňuje některé podrobnosti a využívá hlavní výsledek prvního článku k předepsání postupu operace. Druhá polovina článku je věnována analýze Ricciho toků, které existují v nekonečném čase.
• Třetí preprint, Finite extinction time for solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, poskytuje zkratku k důkazu Poincarého domněnky, která se vyhýbá argumentům v druhé polovině druhého preprintu. Ukazuje, že na libovolném prostoru splňujícím předpoklady Poincarého domněnky existuje Ricciho tok s operací pouze po konečný čas, takže analýza Ricciho toku v nekonečném čase je irelevantní.

Tobias Colding a William Minicozzi II poskytli zcela alternativní argument k třetímu Perelmanovu preprintu. Jejich argument je vzhledem k předpokladu některých sofistikovaných argumentů geometrické teorie míry, jak byly vyvinuty v osmdesátých letech, obzvláště jednoduchý.

OvěřeníEdit

Perelmanovy preprinty si rychle získaly pozornost matematické komunity, ačkoli byly všeobecně považovány za obtížně srozumitelné, protože byly napsány poněkud stroze. Proti obvyklému stylu akademických matematických publikací bylo vynecháno mnoho technických detailů. Brzy bylo zřejmé, že Perelman významně přispěl k základům Ricciho proudění, i když matematické komunitě nebylo hned jasné, že tyto příspěvky stačí k prokázání geometrizační domněnky nebo Poincarého domněnky.

V dubnu 2003 Perelman navštívil Massachusettský technologický institut, Princetonskou univerzitu, Univerzitu Stony Brook, Kolumbijskou univerzitu a Newyorskou univerzitu, aby přednesl krátkou sérii přednášek o své práci a objasnil některé podrobnosti odborníkům z příslušných oborů.

V červnu 2003 Bruce Kleiner a John Lott, oba tehdy z Michiganské univerzity, zveřejnili na Lottově webové stránce poznámky, které oddíl po oddílu doplnily mnoho podrobností v Perelmanově prvním preprintu. V září 2004 byly jejich poznámky doplněny o druhý Perelmanův preprint. Po dalších revizích a opravách zveřejnili 25. května 2006 na arXivu verzi, jejíž upravená verze byla v roce 2008 publikována ve vědeckém časopise Geometry & Topology. Na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 2006 Lott řekl: „Trvalo nám nějakou dobu, než jsme Perelmanovu práci prozkoumali. Částečně je to dáno originalitou Perelmanovy práce a částečně technickou propracovaností jeho argumentů. Vše nasvědčuje tomu, že jeho argumenty jsou správné.“ V úvodu svého článku Kleiner a Lott vysvětlují

Perelmanovy důkazy jsou stručné a místy útržkovité. Účelem těchto poznámek je poskytnout podrobnosti, které chybějí v … Pokud jde o důkazy, obsahují některá nesprávná tvrzení a neúplné argumenty, na které jsme se pokusili čtenáře upozornit. (Některé z chyb v byly opraveny v .) Nenašli jsme žádné závažné problémy, to znamená problémy, které nelze opravit pomocí metod zavedených Perelmanem.

V červnu 2006 vyšel v časopise Asian Journal of Mathematics článek Zhu Xipinga ze Sun Yat-sen University v Číně a Huai-Dong Caoa z Lehigh University v Pensylvánii, který podává úplný popis Perelmanova důkazu Poincarého a geometrizační domněnky. Na rozdíl od článku Kleinera a Lotta, který byl strukturován jako soubor poznámek k Perelmanovým článkům, byl článek Cao a Zhu zaměřen přímo na vysvětlení důkazů Poincarého domněnky a geometrizační domněnky. V úvodu vysvětlují

V tomto článku představíme Hamiltonovu-Perelmanovu teorii Ricciho toku. Na jejím základě podáme první písemný popis úplného důkazu Poincarého domněnky a Thurstonovy geometrizační domněnky. Ačkoli je kompletní práce kumulovaným úsilím mnoha geometrických analytiků, hlavními přispěvateli jsou bezesporu Hamilton a Perelman. V tomto článku uvedeme úplné a podrobné důkazy zejména Perelmanovy práce v jeho druhém článku, v němž jsou mnohé klíčové myšlenky důkazů načrtnuty nebo nastíněny, ale úplné detaily důkazů často chybí. Jak jsme již dříve upozornili, několik klíčových Perelmanových argumentů jsme museli nahradit novými přístupy založenými na našem studiu, protože jsme nebyli schopni pochopit tyto původní Perelmanovy argumenty, které jsou zásadní pro dokončení geometrizačního programu.

V červenci 2006 John Morgan z Kolumbijské univerzity a Gang Tian z Massachusettského technologického institutu zveřejnili na arXiv článek, ve kterém podrobně představili Perelmanův důkaz Poincarého domněnky. Na rozdíl od Kleiner-Lottova a Cao-Zhuova výkladu se Morgan a Tian zabývají také třetím Perelmanovým článkem. Dne 24. srpna 2006 přednesl Morgan na ICM v Madridu přednášku o Poincarého domněnce, v níž prohlásil, že Perelmanova práce byla „důkladně prověřena“. V roce 2008 Morgan a Tian zveřejnili článek, který se zabýval podrobnostmi důkazu geometrizační domněnky. Oba Morganovy a Tianovy články byly vydány v knižní podobě Clay Mathematics Institute.

Revize verifikacíUpravit

Všechny tři výše uvedené výklady byly po zveřejnění revidovány. Ve výkladech Kleinera-Lotta a Morgana-Tiana byly nalezeny chyby (které neměly vliv na velký rozsah), zatímco výklad Cao-Zhu vzbudil kritiku kvůli jejich formulaci a kvůli chybě v atribuci.

Po zveřejnění byl Kleinerův a Lottův článek následně dvakrát revidován kvůli opravám, například kvůli nesprávnému uvedení Hamiltonovy důležité „věty o kompaktnosti“ pro Ricciho tok. Poslední revize jejich článku proběhla v roce 2013. V roce 2015 Abbas Bahri upozornil na chybu v Morganově a Tianově výkladu, kterou Morgan a Tian později opravili a odvozovali ji od základní výpočetní chyby.

Cao a Zhuův článek byl podroben kritice ze strany některých částí matematické komunity za volbu slov, kterou někteří pozorovatelé interpretovali tak, že si přisvojují příliš velké zásluhy. Kritizováno bylo zejména použití slova „aplikace“ v jejich názvu „A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow“ a věta „This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow“ v abstraktu. Když byl Perelman na tuto záležitost dotázán, uvedl, že Cao a Zhu nepřispěli ničím originálním a pouze přepracovali jeho důkaz, protože „argumentaci zcela neporozuměli“. Navíc jedna ze stránek Caova a Zhuova článku byla v podstatě totožná s jednou z příspěvku Kleinera a Lotta z roku 2003. V publikovaném erratum to Cao a Zhu připsali nedopatření s tím, že si v roce 2003 zapsali poznámky z původní verze Kleinerových a Lottových poznámek a ve svém zápisu z roku 2006 si neuvědomili správný zdroj těchto poznámek. Na arXiv umístili revidovanou verzi s opravami ve formulacích a v příslušné stránce důkazu.

Současné názoryEdit

K roku 2020 stále existují někteří matematici, kteří, ačkoli se všeobecně uznává, že Perelman udělal obrovský pokrok v teorii Ricciho toku, neuznávají, že Poincarého a geometrizační domněnky byly dokázány. Pro tyto pozorovatele jsou problematické části důkazu v druhé polovině Perelmanova druhého preprintu. Například nositel Fieldsovy medaile Shing-Tung Yau v roce 2019 řekl, že

Ačkoli to ode mě může být kacířství, nejsem si jistý, že důkaz je zcela přibitý. Jsem přesvědčen, jak jsem již mnohokrát řekl, že Perelman odvedl brilantní práci týkající se vzniku a struktury singularit v trojrozměrných prostorech – práci, která byla skutečně hodna Fieldsovy medaile, jež mu byla udělena. O tom nepochybuji Jde o to, že v oblasti Ricciho toku je jen velmi málo odborníků, a dosud jsem se nesetkal s nikým, kdo by tvrdil, že plně rozumí poslední, nejobtížnější části Perelmanova důkazu Pokud je mi známo, nikdo nevzal některé z technik, které Perelman zavedl ke konci svého článku, a úspěšně je nepoužil k řešení žádného jiného významného problému. To mi naznačuje, že ani ostatní matematici tuto práci a její metodiku zatím plně neovládají.

Naproti tomu, když byla v roce 2010 Perelmanovi udělena cena tisíciletí za „řešení Poincarého domněnky“, Fieldsův medailista Simon Donaldson v jedné z laudací na cenu řekl

Za dobu, kdy se objevily preprinty týkající se Poincarého a geometrizační domněnky, matematici na celém světě svorně vyjadřovali své uznání, úctu a úžas nad jeho mimořádným úspěchem, a věřím, že zde hovořím jako zástupce celé naší intelektuální komunity. Řeší vynikající, sto let starý problém.

.