Diracova rovnice v podobě původně navržené Diracem je:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alfa _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}

kde ψ = ψ(x, t) je vlnová funkce pro elektron o klidové hmotnosti m s časoprostorovými souřadnicemi x, t. P1, p2, p3 jsou složky hybnosti, kterou se rozumí operátor hybnosti ve Schrödingerově rovnici. Rovněž c je rychlost světla a ħ je redukovaná Planckova konstanta. Tyto základní fyzikální konstanty odrážejí speciální teorii relativity, respektive kvantovou mechaniku.

Diracovým cílem při sestavování této rovnice bylo vysvětlit chování relativisticky se pohybujícího elektronu, a umožnit tak zacházet s atomem způsobem, který je v souladu s teorií relativity. Jeho poměrně skromnou nadějí bylo, že takto zavedené korekce by mohly mít vliv na problém atomových spekter.

Do té doby pokusy učinit starou kvantovou teorii atomu slučitelnou s teorií relativity, pokusy založené na diskretizaci úhlového momentu hybnosti uloženého v případně nekruhové dráze elektronu kolem atomového jádra, selhaly – a nová kvantová mechanika Heisenberga, Pauliho, Jordana, Schrödingera a samotného Diraca se nerozvinula natolik, aby tento problém mohla zpracovat. Ačkoli původní Diracovy záměry byly splněny, jeho rovnice měla daleko hlubší důsledky pro strukturu hmoty a zavedla nové matematické třídy objektů, které jsou dnes základními prvky fundamentální fyziky.

Novými prvky v této rovnici jsou čtyři matice 4 × 4 α1, α2 , α3 a β a čtyřsložková vlnová funkce ψ. V ψ jsou čtyři složky, protože její vyhodnocení v libovolném bodě konfiguračního prostoru je dvojsložkové. Interpretuje se jako superpozice elektronu se spinem nahoru, elektronu se spinem dolů, pozitronu se spinem nahoru a pozitronu se spinem dolů (další diskuse viz níže).

Matice 4 × 4 αk a β jsou všechny hermitovské a jsou involutární:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}.

a všechny se vzájemně antikomutují:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alfa _{i}\alfa _{j}+\alfa _{j}\alfa _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alfa _{i}\beta +\beta \alfa _{i}=0}

Tyto matice a tvar vlnové funkce mají hluboký matematický význam. Algebraickou strukturu představovanou maticemi gama vytvořil o 50 let dříve anglický matematik W. K. Clifford. Cliffordovy myšlenky zase vyplynuly z práce německého matematika Hermanna Grassmanna z poloviny 19. století v jeho Lineale Ausdehnungslehre (Teorie lineárních rozšíření). Ta byla většinou současníků považována za téměř nepochopitelnou. Objevení něčeho tak zdánlivě abstraktního v tak pozdní době a tak přímým fyzikálním způsobem je jednou z nejpozoruhodnějších kapitol v dějinách fyziky.

Jediná symbolická rovnice se tak rozpadá na čtyři spřažené lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu pro čtyři veličiny, které tvoří vlnovou funkci. Rovnici lze explicitněji zapsat v Planckových jednotkách jako:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\psi _{3}\\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\-\psi _{3}\-\psi _{2}\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\+\psi _{3}\-\psi _{2}\+\psi _{1}\konec{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\+\psi _{4}\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\+\psi _{2}\-\psi _{3}\-\psi _{4}end{bmatrix}}}.

z čehož je zřejmé, že se jedná o soubor čtyř parciálních diferenciálních rovnic se čtyřmi neznámými funkcemi.

Vytvoření relativistické Schrödingerovy rovniceUpravit

Dirakova rovnice je povrchně podobná Schrödingerově rovnici pro masivní volnou částici:

– ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

Levá strana představuje kvadrát operátoru hybnosti dělený dvojnásobkem hmotnosti, což je nerelativistická kinetická energie. Protože relativita považuje prostor a čas za celek, relativistické zobecnění této rovnice vyžaduje, aby prostorové a časové derivace vstupovaly symetricky, stejně jako v Maxwellových rovnicích, které řídí chování světla – rovnice musí být diferenciálně stejného řádu v prostoru i čase. V teorii relativity jsou hybnost a energie prostorovou a časovou částí časoprostorového vektoru, čtyřhmotnosti, a jsou spojeny relativisticky invariantním vztahem

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}.

který říká, že délka tohoto čtyřvektoru je úměrná klidové hmotnosti m. Dosazením operátorových ekvivalentů energie a hybnosti ze Schrödingerovy teorie dostaneme Kleinovu-Gordonovu rovnici popisující šíření vln, sestrojenou z relativisticky invariantních objektů,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi }

přičemž vlnová funkce ϕ je relativistický skalár: komplexní číslo, které má ve všech vztažných rámcích stejnou číselnou hodnotu. Prostorové i časové derivace vstupují do druhého řádu. To má výmluvný důsledek pro interpretaci rovnice. Protože rovnice je druhého řádu v časové derivaci, je třeba určit počáteční hodnoty jak samotné vlnové funkce, tak její první časové derivace, aby bylo možné řešit definiční úlohy. Protože obojí lze zadat víceméně libovolně, nemůže si vlnová funkce zachovat svou dřívější úlohu určovat hustotu pravděpodobnosti nalezení elektronu v daném pohybovém stavu. Ve Schrödingerově teorii je hustota pravděpodobnosti dána pozitivně definitním výrazem

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

a tato hustota je konvexní podle vektoru pravděpodobnostního proudu

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})}

se zachováním proudu a hustoty pravděpodobnosti vyplývající z rovnice kontinuity:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}

Z toho, že hustota je kladně definitní a konvexní podle této rovnice kontinuity, vyplývá, že můžeme hustotu integrovat v určitém oboru a celkový součet nastavit na 1 a tato podmínka bude zákonem zachování zachována. Tuto vlastnost musí mít i správná relativistická teorie s pravděpodobnostním proudem hustoty. Chceme-li nyní zachovat pojem konvexní hustoty, pak musíme zobecnit Schrödingerovo vyjádření hustoty a proudu tak, aby prostorové a časové derivace opět vstupovaly symetricky vzhledem ke skalární vlnové funkci. Schrödingerův výraz pro proud smíme zachovat, ale pravděpodobnostní hustotu musíme nahradit symetricky utvořeným výrazem

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}(\psi ^{*}\část _{t}\psi -\psi \část _{t}\psi ^{*})~.}

která se nyní stává 4. složkou časoprostorového vektoru a celá hustota pravděpodobnostního 4proudu má relativisticky kovariantní výraz

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\část ^{\mu }\psi -\psi \část ^{\mu }\psi ^{*})~.}

Rovnice spojitosti je stejná jako dříve. Nyní je vše v souladu s relativitou, ale hned vidíme, že výraz pro hustotu již není kladně definitní – počáteční hodnoty ψ i ∂tψ mohou být libovolně zvoleny, a hustota se tak může stát zápornou, což je pro legitimní hustotu pravděpodobnosti nemožné. Nemůžeme tedy získat jednoduché zobecnění Schrödingerovy rovnice za naivního předpokladu, že vlnová funkce je relativistický skalár a rovnice, kterou splňuje, druhého řádu v čase.

Ačkoli se nejedná o úspěšné relativistické zobecnění Schrödingerovy rovnice, je tato rovnice vzkříšena v kontextu kvantové teorie pole, kde je známa jako Kleinova-Gordonova rovnice a popisuje pole bezspinových částic (např. mezonu pí nebo Higgsova bosonu). Historicky sám Schrödinger dospěl k této rovnici dříve než k té, která nese jeho jméno, ale brzy ji zavrhl. V kontextu kvantové teorie pole se neurčitou hustotou rozumí hustota náboje, která může být kladná nebo záporná, a nikoliv hustota pravděpodobnosti.

Diracův převrat

Dirac se tedy domníval, že se pokusí o rovnici, která by byla prvního řádu v prostoru i čase. Dalo by se například formálně (tj. zneužitím notace) vzít relativistický výraz pro energii

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}

nahradíme p jeho operátorovým ekvivalentem, odmocninu rozšíříme v nekonečné řadě derivačních operátorů, stanovíme úlohu vlastních čísel a pak rovnici formálně vyřešíme iteracemi. Většina fyziků takovému postupu příliš nevěřila, i kdyby byl technicky možný.

Jak se vypráví, Dirac v Cambridgi zíral do krbu a přemýšlel o tomto problému, když ho napadlo brát odmocniny z vlnového operátoru takto:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\levice(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}

Po vynásobení pravé strany vidíme, že aby všechny křížové členy jako ∂x∂y zmizely, musíme předpokládat

A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}

s

A 2 = B 2 = … = 1 . {\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}

Dirac, který se právě v té době intenzivně zabýval vypracováním základů Heisenbergovy maticové mechaniky, okamžitě pochopil, že tyto podmínky lze splnit, pokud jsou A, B, C a D matice, z čehož vyplývá, že vlnová funkce má více složek. Tím se okamžitě vysvětlil výskyt dvousložkových vlnových funkcí v Pauliho fenomenologické teorii spinu, což bylo do té doby považováno za záhadné i pro Pauliho samotného. K sestavení systému s požadovanými vlastnostmi je však zapotřebí nejméně 4 × 4 matice – vlnová funkce tedy měla čtyři složky, nikoliv dvě jako v Pauliho teorii nebo jednu jako v holé Schrödingerově teorii. Čtyřsložková vlnová funkce představuje novou třídu matematických objektů ve fyzikálních teoriích, která se zde objevuje poprvé.

Díky faktorizaci v termínech těchto matic, lze nyní okamžitě zapsat rovnici

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }

s κ {\displaystyle \kappa }

je třeba určit. Opětovným použitím maticového operátoru na obě strany získáme ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Za předpokladu κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}}.

zjistíme, že všechny složky vlnové funkce jednotlivě splňují relativistický vztah energie a hybnosti. Hledaná rovnice, která je prvního řádu v prostoru i čase, tedy zní ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}

Nastavení

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alfa _{1}\,,\,B=i\beta \alfa _{2}\,,\,C=i\beta \alfa _{3}\,,\,D=\beta ~,}

a protože D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}

dostaneme výše zapsanou Diracovu rovnici.

Kovariantní tvar a relativistická invarianceEdit

Pro demonstraci relativistické invariance rovnice je výhodné převést ji do tvaru, v němž prostorové a časové derivace vystupují rovnocenně. Zavedeme nové matice takto:

D = γ 0 , {\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}

a rovnice má tvar (nezapomeňte na definici kovariantních složek 4-gradientu a zejména to, že ∂0 = 1/c∂t )

kde je implicitní součet nad hodnotami dvakrát opakovaného indexu μ = 0, 1, 2, 3 a ∂μ je čtyřgradient. V praxi se často zapisují gama matice ve smyslu 2 × 2 dílčích matic převzatých z Pauliho matic a 2 × 2 identické matice. Explicitně je standardní reprezentace následující

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

Úplný systém je shrnut pomocí Minkowského metriky na prostoročase ve tvaru

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}

kde výraz v závorce

{ a , b } = a b + b a {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}

označuje antikomutátor. Jedná se o definiční vztahy Cliffordovy algebry nad pseudoortogonálním čtyřrozměrným prostorem s metrickou signaturou (+ – – -). Konkrétní Cliffordova algebra použitá v Diracově rovnici je dnes známá jako Diracova algebra. Ačkoli Dirac v době formulace rovnice tuto funkci neuznával, při zpětném pohledu představuje zavedení této geometrické algebry obrovský pokrok ve vývoji kvantové teorie.

Diracovu rovnici lze nyní interpretovat jako rovnici vlastních čísel, kde klidová hmotnost je úměrná vlastnímu číslu operátoru 4-momentum, přičemž konstantou úměrnosti je rychlost světla:

P o p ψ = m c ψ . {\displaystyle P_{\mathrm {op} }\psi =mc\psi ~.}

Použití ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {\displaystyle {\partial \!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\\ \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}

( ∂ / {\displaystyle {\částečně \!\!\!{\big /}}}

se vyslovuje „d-lomítko“), podle Feynmanovy lomítkové notace se Diracova rovnice stává: i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0. {\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0.}

V praxi fyzikové často používají takové měrné jednotky, že ħ = c = 1, tzv. přirozené jednotky. Rovnice pak má jednoduchý tvar

Základní věta říká, že jsou-li dány dvě různé množiny matic, které obě splňují Cliffordovy relace, pak jsou navzájem spojeny podobnostní transformací:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}

Jsou-li navíc všechny matice unitární, stejně jako Diracova množina, pak je unitární i samotné S;

γ μ ′ = U † γ μ U . {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

Transformace U je jedinečná až na multiplikativní faktor absolutní hodnoty 1. Představme si nyní, že Lorentzova transformace byla provedena na prostorových a časových souřadnicích a na operátorech derivací, které tvoří kovariantní vektor. Aby operátor γμ∂μ zůstal invariantní, musí se gama mezi sebou transformovat jako kontravariantní vektor vzhledem ke svému časoprostorovému indexu. Tyto nové gamy budou samy o sobě splňovat Cliffordovy vztahy, protože Lorentzova transformace je ortogonální. Podle fundamentální věty můžeme novou množinu nahradit starou množinou podléhající unitární transformaci. V novém rámci, pokud si uvědomíme, že klidová hmotnost je relativistický skalár, bude mít pak Diracova rovnice tvar

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 {\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Pokud nyní definujeme transformovaný spinor

ψ ′ = U ψ {\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }

tedy máme transformovanou Diracovu rovnici způsobem, který prokazuje zjevnou relativistickou invarianci:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\parciální _{\mu }^{\prime }-m)\psi ^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Jakmile se tedy rozhodneme pro libovolné unitární zobrazení gama, je konečné za předpokladu, že spinor transformujeme podle unitární transformace, která odpovídá dané Lorentzově transformaci.

Různé použité reprezentace Diracových matic upozorní na konkrétní aspekty fyzikálního obsahu v Diracově vlnové funkci (viz níže). Zde uvedená reprezentace je známá jako standardní reprezentace – v ní horní dvě složky vlnové funkce přecházejí do Pauliho 2 spinorické vlnové funkce v limitě nízkých energií a malých rychlostí ve srovnání se světlem.

Výše uvedené úvahy odhalují původ gama v geometrii a odkazují na původní Grassmannovu motivaci – představují pevnou bázi jednotkových vektorů v prostoročase. Podobně součin gama, například γμγν, představuje orientované plošné prvky atd. S tímto vědomím můžeme najít tvar jednotkového objemového prvku v časoprostoru v termínech gama následovně. Podle definice je to

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β . {\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alfa \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alfa }\gamma ^{\beta }.}

Aby se jednalo o invariant, musí být symbol epsilon tenzorem, a musí tedy obsahovat faktor √g, kde g je determinant metrického tenzoru. Protože ten je záporný, je tento činitel imaginární. Tedy

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}

Tato matice má speciální symbol γ5 vzhledem k jejímu významu při uvažování nevhodných transformací časoprostoru, tj. takových, které mění orientaci bázových vektorů. Ve standardní reprezentaci je to

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Tato matice bude také antikomutovat s ostatními čtyřmi Diracovými maticemi:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}

Při otázkách parity hraje hlavní roli, protože objemový prvek jako usměrněná veličina mění při časoprostorovém odrazu znaménko. Přijetí výše uvedené kladné odmocniny se tedy rovná volbě konvence ručiček v časoprostoru.

Zachování pravděpodobnostního prouduEdit

Definováním adjungovaného spinoru

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}.

kde ψ† je konjugovaná transpozice ψ, a všimneme si, že

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displayystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

vzetím hermitovského konjugátu Diracovy rovnice a vynásobením zprava γ0 dostaneme adjungovanou rovnici:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}

kde ∂μ působí vlevo. Vynásobením Diracovy rovnice ψ zleva a adjungované rovnice ψ zprava a sečtením dostaneme zákon zachování Diracova proudu:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0~.}

Nyní vidíme velkou výhodu rovnice prvního řádu oproti té, kterou zkoušel Schrödinger – jedná se o zachovanou proudovou hustotu, kterou vyžaduje relativistická invariance, pouze nyní je její 4. složka kladně definitní, a tedy vhodná pro roli hustoty pravděpodobnosti:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi ~.}

Protože hustota pravděpodobnosti nyní vystupuje jako čtvrtá složka relativistického vektoru a ne jako prostý skalár jako ve Schrödingerově rovnici, bude podléhat obvyklým účinkům Lorentzových transformací, jako je dilatace času. Tak například atomové procesy, které jsou pozorovány jako rychlosti, budou nutně upraveny způsobem odpovídajícím relativitě, zatímco procesy zahrnující měření energie a hybnosti, které samy o sobě tvoří relativistický vektor, projdou paralelní úpravou, která zachová relativistickou kovarianci pozorovaných hodnot. Samotný Diracův proud je pak prostoročasově kovariantní čtyřvektor:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}

SolutionsEdit

Podrobnosti o řešení Diracovy rovnice viz Diracův spinor. Všimněte si, že vzhledem k tomu, že Diracův operátor působí na čtyřnásobek čtvercově integrovatelných funkcí, měla by být jeho řešení členy téhož Hilbertova prostoru. Skutečnost, že energie řešení nemají dolní mez, je neočekávaná – podrobnosti viz níže v části o teorii děr.

Srovnání s Pauliho teoriíUpravit

Nutnost zavedení poloceločíselného spinu sahá experimentálně až k výsledkům Sternova-Gerlachova experimentu. Svazek atomů je prohnán silným nehomogenním magnetickým polem, které se následně rozdělí na N částí v závislosti na vlastním úhlovém momentu hybnosti atomů. Bylo zjištěno, že v případě atomů stříbra se svazek rozdělí na dvě části – základní stav tedy nemůže být celočíselný, protože i kdyby byl vlastní úhlový moment atomů co nejmenší, tedy 1, svazek by se rozdělil na tři části, které odpovídají atomům s Lz = -1, 0, +1. Z toho vyplývá, že atomy stříbra mají čistý vlastní úhlový moment 1⁄2 . Pauli vytvořil teorii, která toto rozštěpení vysvětlovala zavedením dvousložkové vlnové funkce a příslušného korekčního členu v Hamiltoniánu, který představoval poloklasickou vazbu této vlnové funkce na přiložené magnetické pole, jak je tomu v jednotkách SI: (Všimněte si, že tučně vyznačené znaky znamenají euklidovské vektory ve třech rozměrech, zatímco Minkowského čtyřvektor Aμ lze definovat jako A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )} }

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}

Tady A a ϕ {\displaystyle \phi }

představují složky elektromagnetického čtyřpotenciálu v jejich standardních jednotkách SI a tři sigly jsou Pauliho matice. Po odmocnění prvního členu se zjistí zbytková interakce s magnetickým polem a obvyklý klasický hamiltonián nabité částice interagující s přiloženým polem v jednotkách SI: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}

Tento Hamiltonián je nyní maticí 2 × 2, takže Schrödingerova rovnice na něm založená musí používat dvousložkovou vlnovou funkci. Při zavedení vnějšího elektromagnetického čtyřvektorového potenciálu do Diracovy rovnice podobným způsobem, známým jako minimální vazba, nabývá tvaru:

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

Druhá aplikace Diracova operátoru nyní reprodukuje Pauliho člen přesně jako dříve, protože prostorové Diracovy matice násobené i mají stejné kvadratické a komutační vlastnosti jako Pauliho matice. Navíc je hodnota gyromagnetického poměru elektronu, stojícího před novým Pauliho členem, vysvětlena z prvních principů. To byl hlavní úspěch Diracovy rovnice a dal fyzikům velkou důvěru v její celkovou správnost. Je toho však více. Pauliho teorii lze považovat za nízkoenergetickou mez Diracovy teorie následujícím způsobem. Nejprve se rovnice zapíše ve formě spřažených rovnic pro 2-spinory s obnovenými jednotkami SI:

( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -.e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

takže

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\tučný symbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}

Předpokládáme, že pole je slabé a pohyb elektronu nerelativistický, máme celkovou energii elektronu přibližně rovnou jeho klidové energii a hybnost přechází na klasickou hodnotu,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}.

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} }

a tak lze druhou rovnici zapsat

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

která je řádu v/c – tedy při typických energiích a rychlostech, jsou spodní složky Diracova spinoru ve standardní reprezentaci značně potlačeny ve srovnání s horními složkami. Dosazením tohoto výrazu do první rovnice získáme po určité úpravě

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

Operátor vlevo představuje energii částice redukovanou o její klidovou energii, což je právě klasická energie, takže Pauliho teorii obnovíme, ztotožníme-li jeho 2-spinor s horními složkami Diracova spinoru v nerelativistické aproximaci. Další aproximace dává Schrödingerovu rovnici jako limitu Pauliho teorie. Schrödingerovu rovnici lze tedy považovat za vzdálenou nerelativistickou aproximaci Diracovy rovnice, kdy lze zanedbat spin a pracovat pouze s nízkými energiemi a rychlostmi. I to byl pro novou rovnici velký triumf, neboť vysledovala záhadné i, které se v ní objevuje, a nutnost komplexní vlnové funkce zpět ke geometrii prostoročasu prostřednictvím Diracovy algebry. Zdůrazňuje také, proč Schrödingerova rovnice, i když má povrchně podobu difuzní rovnice, ve skutečnosti představuje šíření vln.

Je třeba důrazně zdůraznit, že toto rozdělení Diracova spinoru na velkou a malou složku explicitně závisí na nízkoenergetické aproximaci. Celý Diracův spinor představuje neredukovatelný celek a složky, které jsme právě zanedbali, abychom dospěli k Pauliho teorii, přinesou v relativistickém režimu nové jevy – antihmotu a představu vzniku a anihilace částic.

Srovnání s Weylovou teoriíRedukovat

V limitě m → 0 se Diracova rovnice redukuje na Weylovu rovnici, která popisuje relativistické částice bez hmotnosti spin-1⁄2 .

Diracův LagrangiánEdit

Diracovu rovnici i Adjungovanou Diracovu rovnici lze získat z (variace) akce se specifickou hustotou Lagrangiánu, která je dána vztahem:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }.