Definuji funkci s z N a definuji ji jako součet součet všech celých kladných čísel celých kladných čísel včetně n včetně n a oborem této funkce jsou tedy skutečně všechna čísla. kladná celá čísla a musí to být kladné celé číslo a tak si to můžeme vyzkoušet s několika věcmi můžeme vzít s z 3 to bude rovno 1 plus 2 plus 3 což je rovno 6 můžeme vzít s z vezměme s z 4 no to bude 1 plus 2 Plus 3 plus 4 což bude rovno 10 takže docela jednoduché teď co chci udělat v tomto je dokázat vám, a je vlastně více způsobů, jak to dokázat, že to mohu napsat jako funkci n, že součet všech kladných celých čísel do n včetně je roven n krát n plus 1, to vše nad 2, a způsob, jakým vám to dokážu, je alespoň první způsob, jak vám to dokážu, je indukce, tohle bude důkaz. indukcí je to docela zajímavý filozofický způsob, jak něco dokázat, protože důkaz indukcí se provádí tak, že se nejprve dokazuje základní případ, dokazuje se základní případ, takže v případě této funkce je tento výrok tady, takže to je to, co potřebujeme dokázat v případě tohoto výroku tady, nejprve dokážeme, že 4-1, což bude náš základní případ, a pak provedeme krok indukce krok indukce, který v podstatě říká, že pokud předpokládáme, že to funguje pro nějaké kladné celé číslo K, tak pokud to předpokládáme, tak můžeme dokázat, že to bude fungovat i pro další kladné celé číslo, tak to bude fungovat. pro K plus 1 a důvod, proč to funguje, řekněme, že dokážeme, pokud dokážeme obojí, tak základní případ, pro který to dokážeme, v tomto případě dokážeme pro 1, dokážeme pro 1, ale nemusí to být vždy 1, protože může být vaše, může to být pravda pro všechno. nad 55 nebo všechno nad nějakou hranicí, ale v tomto případě říkáme, že to platí pro všechna kladná celá čísla, takže náš základní případ bude 4 1 a pak naše další F se pokusíme dokázat, že pokud předpokládáme, že pokud předpokládáme, že 4 pokud předpokládáme, že tato věc platí pro některé z K, pokud předpokládáme, že pak to bude platit pro některé z K plus 1 a důvod, proč to stačí dokázat pro všechna kladná celá čísla, je ten, že si to prostě představíme, takže uvažujme o všech kladných celých číslech tady 1 2 3 4 5 6, mohli bychom pokračovat donekonečna, takže to dokážeme 4-1, dokážeme, že tento vzorec přímo tady, tento výraz platí pro případ 1, když n je 1, a pak dokážeme, že pokud víme, že to platí pro nějaké dané K, platí to i pro další, takže pokud víme, že to platí pro 1 v našem základním případě, pak druhý krok, tento indukční krok říká, že to musí platit i pro 2, protože jsme obecně dokázali, že když to platí pro K, bude to platit i pro K plus 1, no a když to platí pro 2, tak to musí platit i pro 3, protože jsme dokázali, že když to platí pro K, tak to platí i pro K plus 1, takže když to platí pro 2, tak to platí i pro 3, a když to platí pro 3, tak to musí platit i pro 4, a takhle můžeme pokračovat donekonečna, což znamená, že to platí pro všechno. součet, udělejme tuhle funkci na 1, no a to bude prostě součet všech kladných celých čísel včetně 1, bude to doslova 1, prostě jsme je všechny sečetli, je to prostě 1, není žádné jiné kladné celé číslo až do 1 včetně a můžeme dokázat, že je to totéž jako 1 krát 1 plus 1, to všechno přes 2. 1 plus 1 je 2. 2 děleno 2 je 1 krát 1 je 1, takže tenhle vzorec přímo tady, tenhle výraz funguje. pro fungoval pro 1, takže jsme dokázali, že jsme dokázali náš základní případ, dokázali jsme to pro 1. Teď chci udělat to, že chci předpokládat, že to funguje pro nějaké číslo pro nějaké číslo K, takže budu předpokládat, že to platí pro budu předpokládat, že to platí pro nějaké číslo K, takže budu předpokládat, že pro nějaké číslo K se tato funkce při K bude rovnat K krát k plus 1 nad 2, takže prostě budu předpokládat, že to platí pro tohle. chci se zamyslet nad tím, co se stane, když se pokusím najít, když se pokusím najít tuto funkci pro k plus 1, takže to je to, co předpokládám, předpokládám, že to vím, teď to zkusíme udělat pro k plus 1, takže jaký je součet všech celých čísel až do včetně k plus 1 až do včetně k plus 1, no to bude 1 plus 2 plus 3 plus až do k plus k plus 1, správně, tohle je součet všeho až do a včetně k plus 1 no předpokládáme, že už víme, co to je předpokládáme, že už pro to máme vzorec předpokládáme, že se to zjednoduší na k krát k plus 1 nad 2 nebo předpokládáme, že to víme a tak prostě vezmeme tuhle část a přičteme ji ke k plus 1 takže ji přičteme ke k plus 1 tady ji přičteme ke k plus 1 a pokud najdete společného jmenovatele, pokud najdete komentář společný jmenovatel bude 2 tak pojďme tohle se bude rovnat napíšu nejdřív tu část v purpurové barvě tohle je K krát k plus 1 nad 2 plus 2 krát k plus 1 nad 2 tahle věc v modré barvě je stejná jako tahle věc v modré barvě dvojky by se vyrušily prostě jsem to takhle napsal takže mám společného jmenovatele a tak tohle se bude rovnat tohle se bude rovnat máme společného jmenovatele 2 a já budu tady to napíšu jinou barvou, takže budeme mít K krát k plus 1 plus 2 krát k plus 1. Teď v tomto kroku přímo tady můžete vynásobit k plus 1 oba tyto členy jsou dělitelné K plus 1, takže to vynásobíme, když vynásobíte k plus 1, dostanete k plus 1 k plus 1 krát, vylomíme to tady, když vynásobíte k plus 1, máte jen K tady, když vynásobíte k plus 1, máte jen – Dovolte mi, abych je barevně označil, abyste věděli, co dělám, takže tohle 2 je tohle 2 přímo tady a tohle K tohle K je tohle K je tohle K přímo tady jsme to vyfakturovali tohle tyhle k plus jednou jsme to vyfakturovali asi 2 tohle k plus 1 přímo tady a bude to všechno tohle všechno tohle všechno tohle nad 2 teď můžeme přepsat tohle je to samé tohle se rovná tohle je to samé jako tohle je to samé jako k plus 1 to je tahle část přímo tady krát k plus 1 k plus 1 plus 1 správně tohle je jasně to samé jako k plus 2 tohle všechno nad tohle všechno nad 2 a teď, proč je to pro nás zajímavé no, právě jsme to dokázali, pokud předpokládáme, že je to pravda, pokud předpokládáme, že je to pravda, a pokud a pak prostě použijeme tento předpoklad, prostě použijeme tento předpoklad, dostaneme, že součet všech kladných celých čísel do k plus 1 včetně je rovná k plus 1 krát k plus 1 plus 1 nad 2, vlastně ukazujeme, že ten původní vzorec, že ten původní vzorec platí i pro k plus 1, pokud prostě vezmete k plus 1 a dosadíte ho za n, můžete ho dosadit za n a dostanete přesně ten výsledek, který jsme dostali tady, takže jsme ukázali, že jsme dokázali jsme, že náš základní případ tento tento tento výraz fungoval pro součet pro všechna kladná celá čísla do 1 včetně a také funguje, pokud předpokládáme, že funguje pro všechno do až do k nebo pokud předpokládáme, že funguje pro celé k, funguje také pro celé číslo k plus 1 a jsme hotovi to je náš důkaz přítel indukcí, který nám dokazuje, že to funguje pro všechna kladná celá čísla proč je to dobře dokázali jsme to pro 1 a dokázali jsme to, že pokud to funguje pro nějaké celé číslo, bude to fungovat i pro další celé číslo, pokud můžete předpokládat, že to funguje pro nějaké celé číslo, bude to fungovat i pro další celé číslo, takže pokud jsme předpokládali, že to funguje pro jedničku, tak to může fungovat i pro dvojku, no a už jsme dokázali, že to funguje pro jedničku, takže můžeme předpokládat, že to funguje pro jedničku, takže to určitě bude fungovat i pro dvojku, takže máme ověřenou dvojku, ale protože můžeme předpokládat, že to funguje pro dvě, tak teď můžeme předpokládat, že to funguje pro tři, no a když to funguje pro tři, tak jsme dokázali, že to funguje pro čtyři, vidíte, že tenhle indukční krok je něco jako domino a kaskádovitě se rozbíhá a můžeme pokračovat donekonečna, takže to opravdu bude fungovat pro všechna kladná celá čísla

.