Zobrazit upozornění pro mobilní zařízení Zobrazit všechny poznámky Skrýt všechny poznámky

Kapitola 4 : Násobné integrály

V učebnici Calculus I jsme přešli k tématu integrálů, jakmile jsme dokončili probírání derivací. Totéž platí i v tomto kurzu. Nyní, když jsme dokončili diskusi o derivacích funkcí více než jedné proměnné, musíme přejít k integrálům funkcí dvou nebo tří proměnných.

Většina témat derivací se poněkud přirozeně rozšířila ze svých protějšků v Calculus I a stejně tomu bude i zde. Protože se však nyní jedná o funkce dvou nebo tří proměnných, budou zde i některé odlišnosti. Objeví se nový zápis a některé nové otázky, které při práci s funkcemi jedné proměnné jednoduše nevznikají.

Tady je seznam témat, kterými se tato kapitola zabývá.

Dvojný integrál – V této části budeme formálně definovat dvojný integrál a také uvedeme rychlou interpretaci dvojného integrálu.

Iterované integrály – V této části si ukážeme, jak lze Fubiniho větu použít k vyhodnocování dvojných integrálů, kde oblastí integrace je obdélník.

Dvojné integrály nad obecnými oblastmi – V této části začneme vyhodnocovat dvojné integrály nad obecnými oblastmi, tj. oblastmi, které nejsou obdélníky. Ukážeme si, jak lze dvojný integrál funkce interpretovat jako čistý objem tělesa mezi plochou danou funkcí a rovinou \(xy\)-.

Dvojné integrály v polárních souřadnicích – V této části se budeme zabývat převodem integrálů (včetně \(dA\)) v kartézských souřadnicích do polárních souřadnic. Oblasti integrace v těchto případech budou celé disky nebo prstence nebo jejich části, a proto budeme muset také převést původní kartézské limity pro tyto oblasti do polárních souřadnic.

Trojité integrály – V této části budeme definovat trojitý integrál. Ukážeme si také poměrně dost příkladů stanovení mezí integrace z trojrozměrné oblasti integrace. Získání mezí integrace je často obtížnou částí těchto úloh.

Trojité integrály ve válcových souřadnicích – V této části se budeme zabývat převodem integrálů (včetně \(dV\)) v kartézských souřadnicích do souřadnic válcových. Budeme také převádět původní kartézské limity pro tyto oblasti do válcových souřadnic.

Trojité integrály ve sférických souřadnicích – V této části se budeme zabývat převodem integrálů (včetně \(dV\)) v kartézských souřadnicích do sférických souřadnic. Budeme také převádět původní kartézské limity pro tyto oblasti do sférických souřadnic.

Změna proměnných – V předchozích částech jsme převáděli kartézské souřadnice v polárních, válcových a sférických souřadnicích. V této části tuto myšlenku zobecníme a probereme, jak převádíme integrály v kartézských souřadnicích do alternativních souřadnicových systémů. Součástí bude i odvození převodního vzorce \(dV\) při převodu do sférických souřadnic.

Plocha povrchu – V této části si ukážeme, jak lze pomocí dvojného integrálu určit plochu části povrchu, která leží nad oblastí ve dvourozměrném prostoru.

Plocha a objem znovu – V této části si shrneme různé vzorce pro plochu a objem z této kapitoly.

Plocha a objem – V této části si shrneme různé vzorce pro plochu a objem z této kapitoly.