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Kapitel 4: Mehrfache Integrale

In Calculus I sind wir zum Thema der Integrale übergegangen, sobald wir die Diskussion der Ableitungen abgeschlossen hatten. Das Gleiche gilt auch für diesen Kurs. Nachdem wir die Diskussion der Ableitungen von Funktionen mit mehr als einer Variablen abgeschlossen haben, müssen wir nun zu den Integralen von Funktionen mit zwei oder drei Variablen übergehen.

Die meisten Themen der Ableitungen haben sich auf natürliche Weise aus ihren Gegenstücken in Kalkül I entwickelt, und das wird auch hier so sein. Da wir jetzt jedoch Funktionen von zwei oder drei Variablen behandeln, wird es auch einige Unterschiede geben. Es wird eine neue Notation geben und einige neue Fragen, die sich bei der Behandlung von Funktionen mit einer einzigen Variablen einfach nicht stellen.

Hier ist eine Liste der Themen, die in diesem Kapitel behandelt werden.

Doppelintegrale – In diesem Abschnitt werden wir das Doppelintegral formell definieren und eine kurze Interpretation des Doppelintegrals geben.

Iterierte Integrale – In diesem Abschnitt zeigen wir, wie der Satz von Fubini verwendet werden kann, um Doppelintegrale auszuwerten, bei denen der Integrationsbereich ein Rechteck ist.

Doppelintegrale über allgemeine Bereiche – In diesem Abschnitt beginnen wir mit der Auswertung von Doppelintegralen über allgemeine Bereiche, d.h. Bereiche, die keine Rechtecke sind. Wir werden veranschaulichen, wie ein Doppelintegral einer Funktion als das Nettovolumen des Körpers zwischen der durch die Funktion gegebenen Oberfläche und der \(xy\)-Ebene interpretiert werden kann.

Doppelintegrale in Polarkoordinaten – In diesem Abschnitt werden wir uns mit der Umwandlung von Integralen (einschließlich \(dA\)) in kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten beschäftigen. Die Integrationsbereiche werden in diesen Fällen ganz oder teilweise aus Scheiben oder Ringen bestehen, so dass wir auch die ursprünglichen kartesischen Grenzwerte für diese Bereiche in Polarkoordinaten umwandeln müssen.

Dreifachintegrale – In diesem Abschnitt definieren wir das Dreifachintegral. Wir werden auch einige Beispiele für das Aufstellen der Integrationsgrenzen aus dem dreidimensionalen Integrationsbereich veranschaulichen. Die Ermittlung der Integrationsgrenzen ist oft der schwierige Teil dieser Probleme.

Dreifachintegrale in zylindrischen Koordinaten – In diesem Abschnitt werden wir uns mit der Umwandlung von Integralen (einschließlich \(dV\)) in kartesischen Koordinaten in zylindrische Koordinaten beschäftigen. Wir werden auch die ursprünglichen kartesischen Grenzen für diese Regionen in zylindrische Koordinaten umwandeln.

Dreifachintegrale in Kugelkoordinaten – In diesem Abschnitt werden wir die Umwandlung von Integralen (einschließlich \(dV\)) in kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten betrachten. Wir werden auch die ursprünglichen kartesischen Grenzwerte für diese Regionen in sphärische Koordinaten umwandeln.

Variablenwechsel – In früheren Abschnitten haben wir kartesische Koordinaten in polare, zylindrische und sphärische Koordinaten umgewandelt. In diesem Abschnitt werden wir diese Idee verallgemeinern und diskutieren, wie wir Integrale in kartesischen Koordinaten in andere Koordinatensysteme umwandeln. Dazu gehört auch die Herleitung der Umrechnungsformel \(dV\) bei der Umrechnung in Kugelkoordinaten.

Flächeninhalt – In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie ein Doppelintegral verwendet werden kann, um den Flächeninhalt des Teils einer Oberfläche zu bestimmen, der sich über einem Bereich im zweidimensionalen Raum befindet.

Flächeninhalt und Volumen – In diesem Abschnitt werden die verschiedenen Formeln für Flächeninhalt und Volumen aus diesem Kapitel zusammengefasst.