Ich werde eine Funktion s von N definieren und ich werde sie als die Summe der Summe aller positiven ganzen Zahlen positive ganze Zahlen einschließlich n einschließlich einschließlich n definieren und so ist der Bereich dieser Funktion wirklich alle positive ganze Zahlen und muss eine positive ganze Zahl sein und so können wir es mit ein paar Dingen ausprobieren wir könnten s von 3 nehmen das wird gleich 1 plus 2 plus 3 sein, was gleich 6 ist wir könnten s von nehmen nehmen wir s von 4 nun das wird 1 plus 2 plus 3 plus 4 sein, was gleich 10 sein wird also ziemlich einfach was ich in diesem Video machen will ist zu beweisen Video beweisen, und es gibt tatsächlich mehrere Möglichkeiten, dies zu beweisen, dass ich dies als eine Funktion von n schreiben kann, dass die Summe aller positiven ganzen Zahlen bis einschließlich n gleich n mal n plus 1 ist, alles über 2, und die Art und Weise, wie ich es Ihnen beweisen werde, ist zumindest die erste Art und Weise, wie ich es Ihnen beweisen werde, durch Induktion. Das ist eine interessante philosophische Art, etwas zu beweisen, denn bei einem Induktionsbeweis beweist man zuerst den Basisfall, also im Fall dieser Funktion diese Aussage hier drüben, also das, was wir beweisen müssen, im Fall dieser Aussage hier drüben, beweisen wir zuerst die 41, das wird unser Basisfall sein, und dann machen wir den Induktionsschritt, der im Wesentlichen besagt, dass, wenn wir annehmen, dass es für eine positive ganze Zahl K funktioniert, dass, wenn wir das annehmen, wir beweisen können, dass es für die nächste positive ganze Zahl funktioniert, dass es für K plus 1 funktioniert. für K plus 1 und der Grund, warum das funktioniert, ist, dass wir beweisen, wenn wir beides beweisen, also den Basisfall, für den wir es beweisen werden, in diesem Fall werden wir es für 1 beweisen, aber es muss nicht immer 1 sein, denn es könnte sein, dass es für alles wahr ist über 55 oder alles über einem bestimmten Schwellenwert, aber in diesem Fall sagen wir, dass es für alle positiven ganzen Zahlen wahr ist, also wird unser Basisfall 4 1 sein, und als nächstes F werden wir versuchen zu beweisen, dass, wenn man annimmt, wenn man 4 annimmt, wenn man annimmt, dass diese Sache für einige von K wahr ist, wenn wir annehmen, dass dann wird es für einige von K plus 1 wahr sein, und der Grund, warum dies alles ist, was man tun muss, um dies für alle positiven ganzen Zahlen zu beweisen, ist, dass man sich einfach vorstellt, dass man über alle positiven ganzen Zahlen hier drüben nachdenkt: 1 2 3 4 5 6 man könnte ewig so weitermachen, also werden wir es beweisen: 41 wir werden beweisen, dass diese Formel hier drüben, dieser Ausdruck für den Fall von 1 gilt, wenn n gleich 1 ist, und dann werden wir beweisen, dass, wenn wir wissen, dass es für irgendein gegebenes K wahr ist, es auch für das nächste wahr ist, also wenn wir wissen, dass es für 1 in unserem Basisfall wahr ist, dann sagt der zweite Schritt, dieser Induktionsschritt, dass es auch für 2 wahr sein muss, weil wir allgemein bewiesen haben, dass, wenn es für K wahr ist, es auch für K plus 1 wahr sein wird. 1 Nun, wenn es für 2 wahr ist, dann muss es auch für 3 wahr sein, weil wir bewiesen haben, dass wenn es für K wahr ist, es auch für K plus 1 wahr ist, also wenn es für 2 wahr ist, dann ist es auch für 3 wahr, und wenn es für 3 wahr ist, dann muss es auch für 4 wahr sein, und man kann ewig so weitermachen, was bedeutet, dass es für alles wahr ist, also lassen Sie uns das durch Induktion beweisen, also nehmen wir die nehmen wir die Summe nehmen wir diese Funktion für 1 das wird die Summe aller positiven ganzen Zahlen einschließlich 1 das wird buchstäblich 1 sein wir haben sie alle addiert es ist nur 1 es gibt keine andere positive ganze Zahl bis einschließlich 1 und wir können beweisen dass dies dasselbe ist wie 1 mal 1 plus 1 das alles über 2 1 plus 1 ist 2 2 geteilt durch 2 ist 1 mal 1 ist 1 also diese Formel hier drüben dieser Ausdruck es hat funktioniert Wir haben also bewiesen, dass sie für 1 funktioniert. Jetzt möchte ich annehmen, dass sie für eine bestimmte Zahl für eine bestimmte Zahl K funktioniert, also nehme ich an, dass sie für eine bestimmte Zahl K wahr ist, also nehme ich an, dass diese Funktion für eine bestimmte Zahl K gleich K mal k plus 1 über 2 ist. Ich möchte darüber nachdenken, was passiert, wenn ich versuche, diese Funktion für k plus 1 zu finden, also nehme ich an, dass ich das weiß. Versuchen wir es für k plus 1. Was ist also die Summe aller ganzen Zahlen bis einschließlich k plus 1 bis einschließlich k plus 1. Nun, das wird 1 plus 2 plus 3 plus bis zu k plus k plus 1 sein. einschließlich k plus 1 Nun, wir gehen davon aus, dass wir bereits wissen, was das ist, wir gehen davon aus, dass wir bereits eine Formel dafür haben, wir gehen davon aus, dass dies zu k mal k plus 1 über 2 vereinfacht wird, oder wir gehen davon aus, dass wir das wissen, also nehmen wir einfach diesen Teil und addieren ihn zu k plus 1, also addieren wir ihn zu k plus 1 hier drüben, wir addieren ihn zu k plus 1 und wenn Sie einen gemeinsamen Nenner finden, wenn Sie einen Kommentar finden, wird der Wenn du einen gemeinsamen Nenner findest, ist der gemeinsame Nenner 2, also machen wir weiter, das wird gleich sein, ich schreibe zuerst den Teil in Magenta, das ist K mal k plus 1 über 2 plus 2 mal k plus 1 über 2, das Ding in Blau ist dasselbe wie das Ding in Blau, die Zweier würden sich aufheben, ich habe es einfach so geschrieben, also habe ich einen gemeinsamen Nenner und das wird gleich sein, das wird gleich sein, wir haben einen gemeinsamen Nenner von 2 und ich werde das in einer anderen Farbe hier schreiben, also Ich schreibe das hier in einer anderen Farbe, also haben wir K mal k plus 1 plus 2 mal k plus 1. Bei diesem Schritt hier drüben kann man ein k plus 1 herausrechnen, beide Terme sind durch K plus 1 teilbar, also rechnen wir das aus, wenn man ein k plus 1 herausrechnet, erhält man k plus 1 k plus 1 mal, wir brechen es hier heraus, wenn man ein k plus 1 herausrechnet, hat man nur ein K hier drüben, wenn man ein k plus 1 herausrechnet, hat man nur ein – Lassen Sie mich diese farblich kodieren, damit Sie wissen, was ich tue, also diese 2 ist diese 2 dort drüben und dieses K dieses K ist dieses K ist dieses K dort drüben, wir haben es herausgerechnet, dieses diese k plus einmal, wir haben es über 2 dieses k plus 1 dort drüben herausgerechnet und es wird all dies all dies sein über 2 jetzt können wir das umschreiben das ist das gleiche das ist gleich das ist das gleiche wie das ist das gleiche wie k plus 1 das ist dieser teil hier drüben mal k plus 1 k plus 1 plus 1 richtig das ist eindeutig das gleiche wie k plus 2 das alles über das alles über 2 Nun, warum ist das für uns interessant? Nun, wir haben es gerade bewiesen, wenn wir annehmen, dass dies wahr ist, wenn wir annehmen, dass dies wahr ist, und wenn wir und dann benutzen wir einfach diese Annahme, benutzen wir einfach diese Annahme, dann erhalten wir, dass die Summe aller positiven ganzen Zahlen bis und mit k plus 1 ist gleich k plus 1 mal k plus 1 plus 1 über 2 ist, zeigen wir, dass die ursprüngliche Formel auch für k plus 1 gilt, wenn man einfach k plus 1 für n einsetzt, erhält man genau das Ergebnis, das wir hier erhalten haben. Wir haben also bewiesen, dass wir unseren Basisfall bewiesen haben, dass dieser Ausdruck für die Summe aller positiven ganzen Zahlen bis einschließlich 1 funktioniert, und er funktioniert auch, wenn wir annehmen, dass er für alles bis zu k funktioniert, oder wenn wir annehmen, dass er für die ganze Zahl k funktioniert, funktioniert er auch für die Ganzzahl k plus 1 und wir sind fertig, das ist unser Beweis Freund durch Induktion, der uns beweist, dass es für alle positiven ganzen Zahlen funktioniert, warum ist das so, wir haben es für 1 bewiesen und wir haben bewiesen, dass es, wenn es für eine ganze Zahl funktioniert, auch für die nächste ganze Zahl funktioniert, wenn man annehmen kann, dass es für eine ganze Zahl funktioniert wenn man annehmen kann, dass es für eine ganze Zahl funktioniert, dann funktioniert es auch für die nächste ganze Zahl, also wenn man annimmt, dass es für eine Zahl funktioniert, dann kann es auch für zwei funktionieren, also haben wir bereits bewiesen, dass es für eine Zahl funktioniert, also können wir annehmen, dass es für eine Zahl funktioniert, also wird es definitiv auch für zwei funktionieren, also bekommen wir zwei überprüft, aber da wir annehmen können, dass es Da wir aber davon ausgehen können, dass es für zwei funktioniert, können wir jetzt annehmen, dass es für drei funktioniert. Wenn es für drei funktioniert, dann haben wir bewiesen, dass es für vier funktioniert. Sie sehen, dass dieser Induktionsschritt wie ein Dominostein ist, der kaskadiert und wir können ewig so weitermachen, dass es wirklich für alle positiven ganzen Zahlen funktioniert.