Hauptartikel: Gruppentheorie Die möglichen Spielzüge auf einem Rubik’s Cube bilden eine (sehr große) Gruppe. Die Gruppentheorie ist als abstrakter Begriff der Symmetrie nützlich und daher in vielen Bereichen anwendbar: Die Beziehung zwischen den Wurzeln eines Polynoms (wie in der Galois-Theorie) und die Lösungsmethoden des Rubik-Würfels sind beides bekannte Beispiele.

Informell ist eine Gruppe eine Menge, die mit einer binären Operation ∘\circ∘ ausgestattet ist, so dass die Operation auf zwei beliebigen Elementen der Gruppe auch ein Element der Gruppe erzeugt. So bilden beispielsweise die ganzen Zahlen eine Gruppe, die der Addition unterliegt, und die reellen Zahlen ungleich Null bilden eine Gruppe, die der Multiplikation unterliegt. Die ∘\circ∘-Operation muss eine Reihe von Eigenschaften erfüllen, die denen für diese „normalen“ Zahlensysteme entsprechen: Sie sollte assoziativ sein (was im Wesentlichen bedeutet, dass die Reihenfolge der Operationen keine Rolle spielt), und es sollte ein Identitätselement geben (0 im ersten Beispiel oben und 1 im zweiten). Formal ist eine Gruppe eine Menge, die mit einer Operation ⋅\cdot⋅ ausgestattet ist, so dass die folgenden Axiome gelten; beachten Sie, dass ⋅\cdot⋅ sich nicht notwendigerweise auf die Multiplikation bezieht; vielmehr sollte es als eine Funktion auf zwei Variablen betrachtet werden (tatsächlich kann sich ⋅\cdot⋅ sogar auf die Addition beziehen):

Gruppenaxiome

1) Assoziativität. Für jedes x,y,z∈Gx, y, z \in G x,y,z∈G, haben wir (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).
2) Identität. Es gibt ein e∈G e \in G e∈G, so dass e⋅x=x⋅e=x e \cdot x = x \cdot e = x e⋅x=x⋅e=x für jedes x∈Gx \in G x∈G. Wir sagen, dass eee ein Identitätselement von GGG ist.
3) Inverse. Für jedes x∈Gx \in Gx∈G gibt es ein y∈Gy \in Gy∈G, so dass x⋅y=e=y⋅xx \cdot y = e = y \cdot x x⋅y=e=y⋅x. Wir sagen, dass yyy ein Inverses von xxx ist.

Es lohnt sich auch, das Schließungsaxiom zu erwähnen, da es wichtig ist, die Schließung zu überprüfen, wenn man mit Untergruppen (Gruppen, die vollständig in einer anderen enthalten sind) arbeitet:

4) Schließung. Für jedes x,y∈Gx, y \in G x,y∈G, x∗yx*y x∗y ist auch in GGG.

Weitere Beispiele für Gruppen sind

• Zn\mathbb{Z}_nZn, die Menge der ganzen Zahlen {0,1,…,n-1}\{0, 1, \ldots, n-1\}{0,1,…,n-1} mit der Operation Addition modulo nnn
• SnS_nSn, die Menge der Permutationen von {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}{1,2,…,n} mit der Operation der Zusammensetzung.

S3S_3S3 ist besonders erwähnenswert als Beispiel für eine Gruppe, die nicht kommutativ ist, was bedeutet, dass a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a nicht allgemein gilt. Formal gesehen ist S3S_3S3 eine nicht-abelsche Gruppe (eine abelsche Gruppe ist eine, in der die Operation kommutativ ist). Wenn die Operation nicht aus dem Kontext ersichtlich ist, werden Gruppen in der Form (set,op)(\text{set}, \text{op})(set,op) geschrieben; z. B. können die mit Multiplikation ausgestatteten ungleichnamigen Reellen als (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅) geschrieben werden.

Ein Großteil der Gruppentheorie (und der abstrakten Algebra im Allgemeinen) dreht sich um den Begriff des Gruppenhomomorphismus, der im Wesentlichen eine Abbildung von einer Gruppe auf eine andere bedeutet, die die Struktur der Gruppe bewahrt. Mit anderen Worten, die Abbildung des Produkts zweier Elemente sollte dasselbe sein wie das Produkt der beiden Abbildungen; intuitiv gesprochen, sollte sich das Produkt zweier Elemente unter der Abbildung nicht ändern. Formal ist ein Homomorphismus eine Funktion ϕ:G→H\phi: G \rightarrow Hϕ:G→H derart, dass

ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),\phi(g_1) \cdot_H \phi(g_2) = \phi(g_1 \cdot_G g_2),ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),

wobei ⋅H\cdot_H⋅H die Operation auf HHH ist und ⋅G\cdot_G⋅G die Operation auf GGG ist. Zum Beispiel ist ϕ(g)=g(modn)\phi(g) = g \pmod nϕ(g)=g(modn) ein Beispiel für einen Gruppenhomomorphismus von Z\mathbb{Z}Z nach Zn\mathbb{Z}_nZn. Das Konzept der potentiell unterschiedlichen Operationen ist notwendig; zum Beispiel ist ϕ(g)=eg\phi(g)=e^gϕ(g)=eg ein Beispiel für einen Gruppenhomomorphismus von (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) nach (R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅).